ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 743 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Является ли последовательность \((a_n)\) арифметической прогрессией, если она задана формулой n-го члена:

1) \(a_n = -6n + 3\);

2) \(a_n = 2n^2 — n\);

3) \(a_n = -2,8n\);

4) \(a_n = \frac{n}{n+1}\)?

В случае утвердительного ответа укажите первый член и разность прогрессии.

1) Для \(a_n = -6n + 3\) вычислим разность: \(a_{n+1} — a_n = (-6(n+1) + 3) — (-6n + 3) = -6\), разность постоянна. Первый член \(a_1 = -6 \cdot 1 + 3 = -3\). Ответ: да, первый член \(-3\), разность \(-6\).

2) Для \(a_n = 2n^2 — n\) вычислим разность: \(a_{n+1} — a_n = (2(n+1)^2 — (n+1)) — (2n^2 — n) = 4n + 1\), разность зависит от \(n\). Ответ: нет.

3) Для \(a_n = -2.8n\) вычислим разность: \(a_{n+1} — a_n = (-2.8(n+1)) — (-2.8n) = -2.8\), разность постоянна. Первый член \(a_1 = -2.8 \cdot 1 = -2.8\). Ответ: да, первый член \(-2.8\), разность \(-2.8\).

4) Для \(a_n = \frac{n}{n+1}\) вычислим разность: \(a_{n+1} — a_n = \frac{n+1}{n+2} — \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 — n(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}\), разность зависит от \(n\). Ответ: нет.

1) Рассмотрим последовательность, заданную формулой \(a_n = -6n + 3\). Чтобы определить, является ли она арифметической прогрессией, необходимо проверить, постоянна ли разность между соседними членами. Вычислим \(a_{n+1}\): \(a_{n+1} = -6(n+1) + 3 = -6n — 6 + 3 = -6n — 3\). Теперь найдём разность \(d = a_{n+1} — a_n = (-6n — 3) — (-6n + 3) = -6n — 3 + 6n — 3 = -6\). Разность \(d = -6\) не зависит от \(n\), значит, последовательность является арифметической прогрессией. Первый член \(a_1 = -6 \cdot 1 + 3 = -3\). Ответ: да, это арифметическая прогрессия с первым членом \(-3\) и разностью \(-6\).

2) Рассмотрим последовательность, заданную формулой \(a_n = 2n^2 — n\). Вычислим \(a_{n+1}\): \(a_{n+1} = 2(n+1)^2 — (n+1) = 2(n^2 + 2n + 1) — n — 1 =\)

\(= 2n^2 + 4n + 2 — n — 1 = 2n^2 + 3n + 1\).

Теперь найдём разность \(d = a_{n+1} — a_n = (2n^2 + 3n + 1) — (2n^2 — n) = \)

\(=2n^2 + 3n + 1 — 2n^2 + n = 4n + 1\). Разность \(d = 4n + 1\) зависит от \(n\), значит, она не постоянна. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией. Ответ: нет.

3) Рассмотрим последовательность, заданную формулой \(a_n = -2.8n\). Вычислим \(a_{n+1}\): \(a_{n+1} = -2.8(n+1) = -2.8n — 2.8\). Теперь найдём разность \(d = a_{n+1} — a_n = (-2.8n — 2.8) — (-2.8n) = -2.8n — 2.8 + 2.8n = -2.8\). Разность \(d = -2.8\) не зависит от \(n\), значит, последовательность является арифметической прогрессией. Первый член \(a_1 = -2.8 \cdot 1 = -2.8\). Ответ: да, это арифметическая прогрессия с первым членом \(-2.8\) и разностью \(-2.8\).

4) Рассмотрим последовательность, заданную формулой \(a_n = \frac{n}{n+1}\). Вычислим \(a_{n+1}\): \(a_{n+1} = \frac{n+1}{n+2}\). Теперь найдём разность \(d = a_{n+1} — a_n = \frac{n+1}{n+2} — \frac{n}{n+1}\). Приведём к общему знаменателю \((n+1)(n+2)\): \(d = \frac{(n+1)^2 — n(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \frac{n^2 + 2n + 1 — n^2 — 2n}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}\). Разность \(d = \frac{1}{(n+1)(n+2)}\) зависит от \(n\), значит, она не постоянна. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией. Ответ: нет.