ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 744 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Является ли последовательность \((a_n)\) арифметической прогрессией, если она задана формулой n-го члена:

1) \(a_n = 6 + 7n\);

2) \(a_n = 27 — \frac{1}{2n — 1}\);

3) \(a_n = 1 + 2^n\)?

В случае утвердительного ответа укажите первый член и разность прогрессии.

1) Для \(a_n = 6 + 7n\) вычислим \(a_{n+1} = 6 + 7(n+1) = 13 + 7n\), тогда разность \(d = a_{n+1} — a_n = (13 + 7n) — (6 + 7n) = 7\). Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия. Первый член \(a_1 = 6 + 7 \cdot 1 = 13\), разность \(d = 7\).

2) Для \(a_n = 27 — \frac{1}{2n — 1}\) вычислим \(a_{n+1} = 27 — \frac{1}{2(n+1) — 1} = 27 — \frac{1}{2n + 1}\), тогда разность \(d = a_{n+1} — a_n = \left(27 — \frac{1}{2n + 1}\right) — \left(27 — \frac{1}{2n — 1}\right) = \frac{1}{2n — 1} — \frac{1}{2n + 1} =\)
\(= \frac{(2n + 1) — (2n — 1)}{(2n — 1)(2n + 1)} = \frac{2}{(2n — 1)(2n + 1)}\). Разность зависит от \(n\), значит, это не арифметическая прогрессия.

3) Для \(a_n = 1 + 2^n\) вычислим \(a_{n+1} = 1 + 2^{n+1} = 1 + 2 \cdot 2^n\), тогда разность \(d = a_{n+1} — a_n = (1 + 2 \cdot 2^n) — (1 + 2^n) = 2 \cdot 2^n — 2^n = 2^n\). Разность зависит от \(n\), значит, это не арифметическая прогрессия.

1) Рассмотрим последовательность, заданную формулой \(a_n = 6 + 7n\). Чтобы определить, является ли она арифметической прогрессией, необходимо проверить, постоянна ли разность между соседними членами последовательности. Для этого вычислим следующий член последовательности \(a_{n+1}\). Подставим \(n+1\) в формулу: \(a_{n+1} = 6 + 7(n+1) = 6 + 7n + 7 = 13 + 7n\).

Теперь найдем разность \(d = a_{n+1} — a_n\). Подставим выражения: \(d = (13 + 7n) — (6 + 7n) = 13 + 7n — 6 — 7n = 7\). Разность \(d = 7\) не зависит от \(n\), значит, она постоянна, и последовательность является арифметической прогрессией.

Далее определим первый член последовательности \(a_1\). Подставим \(n=1\) в формулу: \(a_1 = 6 + 7 \cdot 1 = 6 + 7 = 13\). Таким образом, первый член прогрессии равен 13, а разность прогрессии равна 7. Ответ для этого случая: первый член 13, разность 7.

2) Рассмотрим последовательность, заданную формулой \(a_n = 25 — \frac{5}{2n — 1}\). Проверим, является ли она арифметической прогрессией, вычислив разность между соседними членами. Сначала найдем \(a_{n+1}\): \(a_{n+1} = 25 — \frac{5}{2(n+1) — 1} = 25 — \frac{5}{2n + 2 — 1} = 25 — \frac{5}{2n + 1}\).

Теперь вычислим разность \(d = a_{n+1} — a_n\): \(d = \left(25 — \frac{5}{2n + 1}\right) — \left(25 — \frac{5}{2n — 1}\right) = 25 — \frac{5}{2n + 1} — 25 + \frac{5}{2n — 1} = \frac{5}{2n — 1} — \frac{5}{2n + 1}\). Приведем к общему знаменателю: \(d = 5 \cdot \frac{(2n + 1) — (2n — 1)}{(2n — 1)(2n + 1)} = 5 \cdot \frac{2n + 1 — 2n + 1}{(2n — 1)(2n + 1)} = 5 \cdot \frac{2}{(2n — 1)(2n + 1)} = \frac{10}{(2n — 1)(2n + 1)}\).

Разность \(d = \frac{10}{(2n — 1)(2n + 1)}\) зависит от \(n\), значит, она не постоянна. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией. Ответ для этого случая: нет, не является арифметической прогрессией.

3) Рассмотрим последовательность, заданную формулой \(a_n = \frac{1}{n} + 2\). Проверим, является ли она арифметической прогрессией, вычислив разность между соседними членами. Сначала найдем \(a_{n+1}\): \(a_{n+1} = \frac{1}{n+1} + 2\).

Теперь вычислим разность \(d = a_{n+1} — a_n\): \(d = \left(\frac{1}{n+1} + 2\right) — \left(\frac{1}{n} + 2\right) = \frac{1}{n+1} + 2 — \frac{1}{n} — 2 = \frac{1}{n+1} — \frac{1}{n}\). Приведем к общему знаменателю: \(d = \frac{1}{n+1} — \frac{1}{n} = \frac{n — (n+1)}{n(n+1)} = \frac{n — n — 1}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)}\).

Разность \(d = \frac{-1}{n(n+1)}\) зависит от \(n\), значит, она не постоянна. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией. Ответ для этого случая: нет, не является арифметической прогрессией.