ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 745 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из арифметической прогрессии исключили члены с нечётными номерами. Образуют ли оставшиеся члены арифметическую прогрессию?

Если из арифметической прогрессии исключить члены с нечётными номерами, то оставшиеся члены (с чётными номерами) также образуют арифметическую прогрессию. Рассмотрим исходную прогрессию с первым членом \(a_1\) и разностью \(d\). Тогда член с номером \(n\) выражается как \(a_n = a_1 + d(n-1)\). Члены с чётными номерами имеют вид \(a_{2k} = a_1 + d(2k-1)\), где \(k = 1, 2, 3, \dots\). Вычислим разность между соседними чётными членами: \(a_{2(k+1)} — a_{2k} = [a_1 + d(2(k+1)-1)] — [a_1 + d(2k-1)] = [a_1 + d(2k+\)
\(+1)] — [a_1 + d(2k-1)] = d(2k+1 — 2k + 1) = d \cdot 2 = 2d\). Разность между соседними членами с чётными номерами постоянна и равна \(2d\), что является признаком арифметической прогрессии. Таким образом, оставшиеся члены образуют арифметическую прогрессию с разностью \(2d\).

Ответ: да.

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию, которая задаётся первым членом \(a_1\) и разностью \(d\). Общий член этой прогрессии с номером \(n\) выражается формулой \(a_n = a_1 + d(n-1)\). Наша задача — определить, образуют ли члены прогрессии с чётными номерами (то есть \(a_2, a_4, a_6, \dots\)) новую арифметическую прогрессию.

2. Для этого выделим члены с чётными номерами. Пусть номер чётного члена представлен как \(2k\), где \(k = 1, 2, 3, \dots\). Тогда формула для члена с номером \(2k\) будет: \(a_{2k} = a_1 + d(2k-1)\). Это выражение описывает все члены прогрессии, стоящие на чётных местах.

3. Чтобы проверить, является ли последовательность \(a_{2k}\) арифметической прогрессией, необходимо убедиться, что разность между соседними членами этой последовательности постоянна. Рассмотрим два соседних члена с чётными номерами: \(a_{2k}\) и \(a_{2(k+1)}\). Формула для следующего чётного члена: \(a_{2(k+1)} = a_1 + d(2(k+1)-1) = a_1 + d(2k+1)\).

4. Теперь вычислим разность между этими членами: \(a_{2(k+1)} — a_{2k} = [a_1 + d(2k+1)] — [a_1 + d(2k-1)]\). Упростим выражение: \(a_1 + d(2k+1) — a_1 — d(2k-1) = d(2k+1 — 2k + 1) = d(2) = 2d\). Таким образом, разность между соседними членами с чётными номерами равна \(2d\).

5. Поскольку разность \(2d\) не зависит от \(k\), она является постоянной для всех пар соседних членов с чётными номерами. Это означает, что последовательность членов с чётными номерами \(a_2, a_4, a_6, \dots\) образует арифметическую прогрессию с первым членом \(a_2 = a_1 + d\) и разностью \(2d\).

6. Для наглядности можно рассмотреть числовой пример. Пусть \(a_1 = 3\), а \(d = 2\). Тогда исходная прогрессия: \(3, 5, 7, 9, 11, 13, \dots\). Члены с чётными номерами: \(5, 9, 13, \dots\). Разность между ними: \(9-5=4\), \(13-9=4\), что равно \(2d = 2 \cdot 2 = 4\). Это подтверждает, что разность постоянна.

7. Таким образом, исключение членов с нечётными номерами из арифметической прогрессии приводит к образованию новой арифметической прогрессии, состоящей из членов с чётными номерами, с разностью, равной удвоенной разности исходной прогрессии.

8. Ответ на вопрос задачи: да, оставшиеся члены образуют арифметическую прогрессию.

9. Итак, мы показали, что последовательность с чётными номерами сохраняет свойство арифметической прогрессии, и разность между её членами равна \(2d\), где \(d\) — разность исходной прогрессии.

10. Вывод: да, члены с чётными номерами образуют арифметическую прогрессию с разностью \(2d\).