ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 746 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны две бесконечные арифметические прогрессии. Если из каждого члена одной прогрессии вычесть соответствующий член другой, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

Если из каждого члена одной арифметической прогрессии вычесть соответствующий член другой арифметической прогрессии, то полученная последовательность также будет арифметической прогрессией. Пусть первая прогрессия имеет первый член \(a_1\) и разность \(d_a\), а вторая — первый член \(b_1\) и разность \(d_b\). Тогда \(n\)-ый член первой прогрессии равен \(a_n = a_1 + d_a(n-1)\), а второй — \(b_n = b_1 + d_b(n-1)\). Разность между соответствующими членами: \(c_n = b_n — a_n = (b_1 — a_1) + (d_b — d_a)(n-1)\). Это выражение является линейной функцией от \(n\), значит, последовательность \(c_n\) — арифметическая прогрессия с первым членом \(b_1 — a_1\) и разностью \(d_b — d_a\). Ответ: да.

Даны две бесконечные арифметические прогрессии. Необходимо определить, будет ли последовательность, полученная путем вычитания соответствующих членов одной прогрессии из другой, также арифметической прогрессией. Рассмотрим этот вопрос шаг за шагом с максимальной детализацией.

1. Определим, что такое арифметическая прогрессия. Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на постоянную величину, называемую разностью прогрессии. Для первой прогрессии обозначим первый член как \(a_1\), а разность прогрессии как \(d_a\). Тогда \(n\)-ый член этой прогрессии можно записать как \(a_n = a_1 + d_a \cdot (n — 1)\).

2. Аналогично для второй арифметической прогрессии обозначим первый член как \(b_1\), а разность прогрессии как \(d_b\). Тогда \(n\)-ый член второй прогрессии будет равен \(b_n = b_1 + d_b \cdot (n — 1)\).

3. Теперь, согласно условию задачи, нам нужно найти последовательность, которая образуется при вычитании соответствующих членов первой прогрессии из членов второй прогрессии. То есть, для каждого \(n\) вычисляем \(c_n = b_n — a_n\).

4. Подставим выражения для \(b_n\) и \(a_n\) в формулу для \(c_n\). Получаем: \(c_n = (b_1 + d_b \cdot (n — 1)) — (a_1 + d_a \cdot (n — 1))\).

5. Упростим это выражение. Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые: \(c_n = b_1 + d_b \cdot (n — 1) — a_1 — d_a \cdot (n — 1)\). Перегруппируем: \(c_n = (b_1 — a_1) + (d_b \cdot (n — 1) — d_a \cdot (n — 1))\).

6. Вынесем общий множитель \((n — 1)\) из второго слагаемого: \(c_n = (b_1 — a_1) + (d_b — d_a) \cdot (n — 1)\). Это выражение представляет собой формулу для \(n\)-ого члена последовательности \(c_n\).

7. Чтобы определить, является ли последовательность \(c_n\) арифметической прогрессией, нужно проверить, имеет ли она постоянную разность между соседними членами. Для этого вычислим разность между \(c_{n+1}\) и \(c_n\). Сначала найдем \(c_{n+1}\): \(c_{n+1} = (b_1 — a_1) + (d_b — d_a) \cdot ((n + 1) — 1) = (b_1 — a_1) + (d_b — d_a) \cdot n\).

8. Теперь вычислим разность: \(c_{n+1} — c_n = [(b_1 — a_1) + (d_b — d_a) \cdot n] — [(b_1 — a_1) + (d_b — d_a) \cdot (n — 1)]\). Упростим: \(c_{n+1} — c_n = (b_1 — a_1) + (d_b — d_a) \cdot n — (b_1 — a_1) — (d_b — d_a) \cdot (n — 1)\).

9. Сократим подобные слагаемые: \(c_{n+1} — c_n = (d_b — d_a) \cdot n — (d_b — d_a) \cdot (n — 1) = (d_b — d_a) \cdot [n — (n — 1)] =\)

\(=(d_b — d_a) \cdot 1 = d_b — d_a\).

10. Итак, разность между соседними членами последовательности \(c_n\) постоянна и равна \(d_b — d_a\). Это означает, что последовательность \(c_n\) является арифметической прогрессией с первым членом \(c_1 = b_1 — a_1\) и разностью \(d_b — d_a\). Следовательно, ответ на вопрос задачи: да, полученная последовательность является арифметической прогрессией.