ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 749 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что числа, равные соответственно суммам углов треугольника, четырёхугольника, пятиугольника и т. д., образуют арифметическую прогрессию.

Сумма углов \(n\)-угольника равна \((n-2) \cdot 180^\circ\). Для треугольника (\(n=3\)) сумма углов \((3-2) \cdot 180^\circ = 180^\circ\), для четырёхугольника (\(n=4\)) — \((4-2) \cdot 180^\circ = 360^\circ\), для пятиугольника (\(n=5\)) — \((5-2) \cdot 180^\circ = 540^\circ\) и т.д. Получаем последовательность: \(180^\circ, 360^\circ, 540^\circ, \ldots\), где каждый следующий член отличается на постоянную разность \(d = 180^\circ\). Это свойство арифметической прогрессии, что и требовалось доказать.

1. Рассмотрим задачу о суммах углов многоугольников. Известно, что сумма внутренних углов \(n\)-угольника определяется формулой \((n-2) \cdot 180^\circ\). Эта формула возникает из разбиения многоугольника на треугольники, каждый из которых имеет сумму углов \(180^\circ\). Для \(n\)-угольника количество таких треугольников равно \((n-2)\), что и даёт указанную формулу.

2. Найдём суммы углов для нескольких последовательных многоугольников, начиная с треугольника. Для треугольника (\(n=3\)) сумма углов равна \((3-2) \cdot 180^\circ = 1 \cdot 180^\circ = 180^\circ\). Для четырёхугольника (\(n=4\)) сумма углов равна \((4-2) \cdot 180^\circ = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ\). Для пятиугольника (\(n=5\)) сумма углов равна \((5-2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ\). Для шестиугольника (\(n=6\)) сумма углов равна \((6-2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ\).

3. Запишем полученную последовательность сумм углов: \(180^\circ, 360^\circ, 540^\circ, 720^\circ, \ldots\). Теперь проверим, является ли эта последовательность арифметической прогрессией. Арифметическая прогрессия характеризуется тем, что разность между соседними членами постоянна.

4. Вычислим разности между соседними членами последовательности. Разность между вторым и первым членом: \(360^\circ — 180^\circ = 180^\circ\). Разность между третьим и вторым членом: \(540^\circ — 360^\circ = 180^\circ\). Разность между четвёртым и третьим членом: \(720^\circ — 540^\circ = 180^\circ\). Видно, что разность постоянна и равна \(180^\circ\).

5. Для общего случая обозначим сумму углов \(n\)-угольника как \(S_n = (n-2) \cdot 180^\circ\). Тогда сумма углов следующего многоугольника, то есть \((n+1)\)-угольника, будет \(S_{n+1} = ((n+1)-2) \cdot 180^\circ = (n-1) \cdot 180^\circ\). Вычислим разность: \(S_{n+1} — S_n = (n-1) \cdot 180^\circ — (n-2) \cdot 180^\circ = (n-1 — (n-2)) \cdot 180^\circ=\)
\( = 1 \cdot 180^\circ = 180^\circ\).

6. Таким образом, разность между суммами углов любых двух последовательных многоугольников всегда равна \(180^\circ\), что подтверждает свойство арифметической прогрессии. Первый член прогрессии \(a_1 = 180^\circ\) (для треугольника), а общий член прогрессии можно записать как \(a_n = 180^\circ + (n-1) \cdot 180^\circ = 180^\circ \cdot n\), где \(n\) — номер многоугольника, начиная с треугольника (\(n=1\)).

7. Проверим это выражение для первых членов. Для \(n=1\) (треугольник): \(a_1 = 180^\circ \cdot 1 = 180^\circ\). Для \(n=2\) (четырёхугольник): \(a_2 = 180^\circ \cdot 2 = 360^\circ\). Для \(n=3\) (пятиугольник): \(a_3 = 180^\circ \cdot 3 = 540^\circ\). Значения совпадают с ранее вычисленными.

8. Также можно заметить, что формула \(a_n = 180^\circ \cdot n\) соответствует последовательности сумм углов, если считать \(n\) как номер элемента прогрессии, где \(n=1\) для треугольника, \(n=2\) для четырёхугольника и так далее. Это ещё раз подтверждает, что последовательность является арифметической прогрессией с разностью \(180^\circ\).

9. Итак, мы показали, что суммы углов треугольника, четырёхугольника, пятиугольника и т.д. образуют последовательность \(180^\circ, 360^\circ, 540^\circ, 720^\circ, \ldots\), которая удовлетворяет определению арифметической прогрессии с постоянной разностью \(180^\circ\).

10. Таким образом, доказано, что числа, равные суммам углов многоугольников, образуют арифметическую прогрессию с первым членом \(180^\circ\) и разностью \(180^\circ\). Что и требовалось доказать.