ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 750 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(x\) значения выражений \(x^2 — 4\), \(5x + 3\) и \(3x + 2\) будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Для арифметической прогрессии разность между последовательными членами должна быть одинаковой, то есть \(5x + 3 — (x^2 — 4) = (3x + 2) — (5x + 3)\). Упрощаем уравнение: \(5x + 3 — x^2 + 4 = 3x + 2 — 5x — 3\), что дает \(-x^2 + 5x + 7 = -2x — 1\). Приводим к виду \(-x^2 + 7x + 8 = 0\), или \(x^2 — 7x — 8 = 0\). Решаем квадратное уравнение: дискриминант \(D = 49 + 32 = 81\), корни \(x = \frac{7 \pm 9}{2}\), то есть \(x_1 = -1\), \(x_2 = 8\).
При \(x = -1\): члены прогрессии \(-3, -2, -1\).
При \(x = 8\): члены прогрессии \(60, 43, 26\).

1) Для того чтобы выражения \(x^2 — 4\), \(5x + 3\) и \(3x + 2\) были последовательными членами арифметической прогрессии, разность между соседними членами должна быть одинаковой. Это означает, что второй член минус первый должен равняться третьему члену минус второму. Запишем это условие как уравнение: \((5x + 3) — (x^2 — 4) = (3x + 2) — (5x + 3)\).

2) Упростим левую часть уравнения: \((5x + 3) — (x^2 — 4) = 5x + 3 — x^2 + 4 = -x^2 + 5x + 7\). Теперь упростим правую часть: \((3x + 2) — (5x + 3) = 3x + 2 — 5x — 3 = -2x — 1\). Таким образом, получаем уравнение: \(-x^2 + 5x + 7 = -2x — 1\).

3) Перенесем все члены в одну сторону, чтобы привести уравнение к стандартному виду. Прибавим \(2x + 1\) к обеим сторонам: \(-x^2 + 5x + 7 + 2x + 1 = 0\), что дает \(-x^2 + 7x + 8 = 0\). Умножим на \(-1\), чтобы старший коэффициент был положительным: \(x^2 — 7x — 8 = 0\).

4) Решаем полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: \(D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81\). Так как \(D > 0\), уравнение имеет два корня. Находим их по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -7\), \(D = 81\). Таким образом, \(x = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{7 \pm 9}{2}\). Первый корень: \(x_1 = \frac{7 — 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1\). Второй корень: \(x_2 = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8\).

5) Теперь найдем члены прогрессии для каждого значения \(x\). Сначала для \(x = -1\): первый член \(a_1 = (-1)^2 — 4 = 1 — 4 = -3\), второй член \(a_2 = 5 \cdot (-1) + 3 = -5 + 3 = -2\), третий член \(a_3 = 3 \cdot (-1) + 2 = -3 + 2 = -1\). Получаем прогрессию: \(-3, -2, -1\).

6) Далее для \(x = 8\): первый член \(a_1 = 8^2 — 4 = 64 — 4 = 60\), второй член \(a_2 = 5 \cdot 8 + 3 = 40 + 3 = 43\), третий член \(a_3 = 3 \cdot 8 + 2 = 24 + 2 = 26\). Получаем прогрессию: \(60, 43, 26\).

7) Проверим, что полученные последовательности действительно являются арифметическими прогрессиями. Для \(x = -1\): разность между вторым и первым членом \(-2 — (-3) = 1\), между третьим и вторым \(-1 — (-2) = 1\), разности равны. Для \(x = 8\): разность между вторым и первым членом \(43 — 60 = -17\), между третьим и вторым \(26 — 43 = -17\), разности также равны. Условие выполнено.

8) Таким образом, значения \(x\), при которых выражения образуют арифметическую прогрессию, равны \(-1\) и \(8\). Соответствующие прогрессии для этих значений определены выше.

9) Ответ записываем в требуемом формате, указывая члены прогрессии для каждого значения \(x\). При \(x = -1\): члены прогрессии \(-3, -2, -1\). При \(x = 8\): члены прогрессии \(60, 43, 26\).

10) Итоговый ответ: при \(x = -1\) члены прогрессии \(-3, -2, -1\); при \(x = 8\) члены прогрессии \(60, 43, 26\).