ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 752 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(y\) значения выражений \(y^2 — 24\), \(3y + 5\), \(44 + 13y\) и \(242 — y + 25\) будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Для определения значения \( y \), при котором выражения \( y^2 — 24 \), \( 3y + 5 \), \( 44 + 13y \) и \( 242 — y + 25 \) являются последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо, чтобы разность между соседними членами была постоянной. Составим уравнения на основе этого условия:

1. \( (3y + 5) — (y^2 — 24) = (44 + 13y) — (3y + 5) \)

2. \( (44 + 13y) — (3y + 5) = (242 — y + 25) — (44 + 13y) \)

Упростим первое уравнение:
\( 3y + 5 — y^2 + 24 = 44 + 13y — 3y — 5 \), то есть \( -y^2 + 3y + 29 = 10y + 39 \), приводим к виду \( y^2 + 7y + 10 = 0 \). Решаем: дискриминант \( D = 49 — 40 = 9 \), корни \( y = \frac{-7 \pm 3}{2} \), то есть \( y_1 = -5 \), \( y_2 = -2 \).

Проверяем второе уравнение для \( y = -5 \):
\( 44 + 13(-5) — (3(-5) + 5) = 44 — 65 + 15 — 5 = -11 \),
\( 242 — (-5) + 25 — (44 — 65) = 272 + 21 = 293 \), не равно, значит \( y = -5 \) не подходит.

Для \( y = -2 \):
\( 44 + 13(-2) — (3(-2) + 5) = 44 — 26 + 6 — 5 = 19 \),
\( 242 — (-2) + 25 — (44 — 26) = 269 — 18 = 251 \), не равно, но при точной проверке всех членов прогрессии \( y = -2 \) дает более близкие значения.

Однако, уточним члены прогрессии для \( y = -2 \):
\( y^2 — 24 = 4 — 24 = -20 \),
\( 3y + 5 = -6 + 5 = -1 \),
\( 44 + 13y = 44 — 26 = 18 \),
\( 242 — y + 25 = 242 + 2 + 25 = 269 \).

Разности: \( -1 — (-20) = 19 \), \( 18 — (-1) = 19 \), \( 269 — 18 = 251 \), не является арифметической прогрессией. Перепроверим постановку задачи, возможно, ошибка в выражениях или их порядке.

Принимаем \( y = 1 \) из контекста изображения:
\( y^2 — 24 = 1 — 24 = -23 \), но в задании на изображении другие выражения. Для корректности используем данные из изображения: \( y^2 — 2y = 1 — 2 = -1 \), \( 3y + 5 = 3 + 5 = 8 \), \( 4y + 13 = 4 + 13 = 17 \), \( 2y^2 — y + 25 = 2 — 1 + 25 = 26 \).

Члены прогрессии: \( -1, 8, 17, 26 \), разность равна 9, что подтверждает арифметическую прогрессию.

Ответ: при \( y = 1 \), члены прогрессии \( -1, 8, 17, 26 \).

1) Для решения задачи нам нужно определить значение \( y \), при котором выражения \( y^2 — 2y \), \( 3y + 5 \), \( 4y + 13 \) и \( 2y^2 — y + 25 \) образуют арифметическую прогрессию. Арифметическая прогрессия характеризуется тем, что разность между соседними членами постоянна. Таким образом, разность между вторым и первым членом должна быть равна разности между третьим и вторым членом, а также между четвертым и третьим членом.

2) Составим первое уравнение на основе условия равенства разностей: \( (3y + 5) — (y^2 — 2y) = (4y + 13) — (3y + 5) \). Упростим это выражение. Слева получаем \( 3y + 5 — y^2 + 2y = -y^2 + 5y + 5 \), справа \( 4y + 13 — 3y — 5 = y + 8 \). Итак, уравнение принимает вид \( -y^2 + 5y + 5 = y + 8 \). Перенесем все члены в одну сторону: \( -y^2 + 5y — y + 5 — 8 = 0 \), то есть \( -y^2 + 4y — 3 = 0 \). Умножим на \(-1\): \( y^2 — 4y + 3 = 0 \). Найдем дискриминант: \( D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 \). Корни уравнения: \( y = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \), то есть \( y_1 = \frac{6}{2} = 3 \) и \( y_2 = \frac{2}{2} = 1 \).

3) Теперь составим второе уравнение, используя разность между третьим и вторым членом, а также между четвертым и третьим: \( (4y + 13) — (3y + 5) = (2y^2 — y + 25) — (4y + 13) \). Упростим: слева \( 4y + 13 — 3y — 5 = y + 8 \), справа \( 2y^2 — y + 25 — 4y — 13 = 2y^2 — 5y + 12 \). Уравнение: \( y + 8 = 2y^2 — 5y + 12 \). Перенесем все в одну сторону: \( 2y^2 — 5y — y + 12 — 8 = 0 \), то есть \( 2y^2 — 6y + 4 = 0 \). Упростим, разделив на 2: \( y^2 — 3y + 2 = 0 \). Дискриминант: \( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1 \). Корни: \( y = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \), то есть \( y_1 = \frac{4}{2} = 2 \) и \( y_2 = \frac{2}{2} = 1 \).

4) Сравнивая результаты из первого и второго уравнений, видим, что общее значение \( y = 1 \). Проверим это значение, вычислив члены прогрессии. При \( y = 1 \): первый член \( y^2 — 2y = 1 — 2 = -1 \), второй член \( 3y + 5 = 3 + 5 = 8 \), третий член \( 4y + 13 = 4 + 13 = 17 \), четвертый член \( 2y^2 — y + 25 = 2 — 1 + 25 = 26 \). Разности: \( 8 — (-1) = 9 \), \( 17 — 8 = 9 \), \( 26 — 17 = 9 \). Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.

5) Ответ: при \( y = 1 \), члены арифметической прогрессии равны \( -1, 8, 17, 26 \).