ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 753 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком значении \(x\) значения выражений \(3x + 4\), \(2x + 3\), \(x^2\) и \(2x^2 + x\) будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Для того чтобы выражения \(3x + 4\), \(2x + 3\), \(x^2\) и \(2x^2 + x\) были членами арифметической прогрессии, разности между соседними членами должны быть равны. Составим уравнения: \((2x + 3) — (3x + 4) = x^2 — (2x + 3)\) и \(x^2 — (2x + 3) = (2x^2 + x) — x^2\). Упростив первое уравнение, получаем \(x^2 — x — 2 = 0\), откуда \(x = 2\) или \(x = -1\). Из второго уравнения следует \(x = -1\). Проверка показывает, что при \(x = -1\) члены равны 1, 1, 1, 1, а разности равны 0, что удовлетворяет условию. При \(x = 2\) разности не равны.

Ответ: \(x = -1\), члены прогрессии: 1, 1, 1, 1.

Для решения задачи о том, при каком значении \(x\) выражения \(3x + 4\), \(2x + 3\), \(x^2\) и \(2x^2 + x\) являются последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо, чтобы разности между соседними членами были равны. Это означает, что разность между вторым и первым членом должна быть равна разности между третьим и вторым членом, а также разности между четвертым и третьим членом. Составим систему уравнений на основе этого условия.

1) Рассмотрим первое равенство для разностей между вторым и первым членом, а также между третьим и вторым членом. Условие арифметической прогрессии требует, чтобы \((2x + 3) — (3x + 4) = x^2 — (2x + 3)\). Вычислим левую часть: \((2x + 3) — (3x + 4) = 2x + 3 — 3x — 4 = -x — 1\). Правую часть: \(x^2 — (2x + 3) = x^2 — 2x — 3\). Таким образом, уравнение принимает вид \(-x — 1 = x^2 — 2x — 3\). Перенесем все члены в одну сторону: \(x^2 — 2x — 3 + x + 1 = 0\), что упрощается до \(x^2 — x — 2 = 0\). Решаем это квадратное уравнение. Дискриминант равен \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\). Тогда корни уравнения: \(x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2}\). Это дает два решения: \(x = \frac{1 + 3}{2} = 2\) и \(x = \frac{1 — 3}{2} = -1\). Таким образом, возможные значения \(x\) равны 2 и \(-1\).

2) Перейдем ко второму равенству разностей: разность между третьим и вторым членом должна быть равна разности между четвертым и третьим членом, то есть \(x^2 — (2x + 3) = (2x^2 + x) — x^2\). Упростим левую часть: \(x^2 — 2x — 3\), а правую часть: \(2x^2 + x — x^2 = x^2 + x\). Получаем уравнение \(x^2 — 2x — 3 = x^2 + x\). Вычтем \(x^2\) из обеих сторон: \(-2x — 3 = x\). Перенесем все члены в одну сторону: \(-2x — 3 — x = 0\), что дает \(-3x — 3 = 0\), откуда \(x = -1\). Таким образом, из второго условия следует, что \(x = -1\).

3) Поскольку из второго условия мы получили только одно значение \(x = -1\), а из первого условия у нас два возможных значения (\(x = 2\) и \(x = -1\)), необходимо проверить оба значения, чтобы определить, при каком из них все разности действительно равны. Сначала проверим \(x = -1\). Вычислим члены прогрессии: первый член \(3(-1) + 4 = -3 + 4 = 1\), второй член \(2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1\), третий член \((-1)^2 = 1\), четвертый член \(2(-1)^2 + (-1) = 2 \cdot 1 — 1 = 1\). Таким образом, члены прогрессии равны 1, 1, 1, 1. Разности между соседними членами: \(1 — 1 = 0\), \(1 — 1 = 0\), \(1 — 1 = 0\), что подтверждает, что это арифметическая прогрессия с разностью 0. Теперь проверим \(x = 2\): первый член \(3 \cdot 2 + 4 = 6 + 4 = 10\), второй член \(2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7\), третий член \(2^2 = 4\), четвертый член \(2 \cdot 2^2 + 2 = 8 + 2 = 10\). Члены равны 10, 7, 4, 10. Разности: \(7 — 10 = -3\), \(4 — 7 = -3\), \(10 — 4 = 6\). Разности не равны (\(-3 \neq 6\)), значит, при \(x = 2\) условие арифметической прогрессии не выполняется.

4) На основании проверки заключаем, что единственное значение \(x\), при котором выражения образуют арифметическую прогрессию, это \(x = -1\). Члены прогрессии при этом значении равны 1, 1, 1, 1.

Ответ: при \(x = -1\), члены арифметической прогрессии равны 1, 1, 1, 1.