ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 757 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1) \(\begin{cases} x^2 — 3y^2 = 46 \\ x^2 — 2y^2 = -4 \end{cases}\);
2) \(\begin{cases} x + y = 6 \\ x^2 + 2y^2 = 12 \end{cases}\).

1) Для системы \(\begin{cases} x^2 — 3y^2 = 46 \\ x^2 — 2y^2 = -4 \end{cases}\) вычтем второе уравнение из первого: \((x^2 — 3y^2) — (x^2 — 2y^2) = 46 — (-4)\), что дает \(-y^2 = 50\), то есть \(y^2 = -50\). Так как \(y^2\) не может быть отрицательным, решений нет.

Ответ: решений нет.

2) Для системы \(\begin{cases} x + y = 6 \\ x^2 + 2y^2 = 12 \end{cases}\) из первого уравнения выразим \(x = 6 — y\). Подставим во второе: \((6 — y)^2 + 2y^2 = 12\), раскроем скобки: \(36 — 12y + y^2 + 2y^2 = 12\), получим \(3y^2 — 12y + 36 = 12\), или \(3y^2 — 12y + 24 = 0\). Упростим, разделив на 3: \(y^2 — 4y + 8 = 0\). Дискриминант \(D = 16 — 32 = -16 < 0\), решений нет. Ответ: решений нет.

1) Рассмотрим систему уравнений \(\begin{cases} x^2 — 3y^2 = 46 \\ x + y = 6 \end{cases}\). Наша цель — найти значения \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. Для этого используем метод подстановки, так как второе уравнение линейное и позволяет легко выразить одну переменную через другую.

Начнем со второго уравнения \(x + y = 6\). Выразим \(x\) через \(y\): \(x = 6 — y\). Теперь подставим это выражение в первое уравнение \(x^2 — 3y^2 = 46\). Получаем \((6 — y)^2 — 3y^2 = 46\). Раскроем скобки: \((6 — y)^2 = 36 — 12y + y^2\), так что уравнение принимает вид \(36 — 12y + y^2 — 3y^2 = 46\). Объединим подобные слагаемые: \(36 — 12y — 2y^2 = 46\).

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы привести уравнение к стандартному виду: \(-2y^2 — 12y + 36 — 46 = 0\), что равно \(-2y^2 — 12y — 10 = 0\). Умножим уравнение на \(-1\), чтобы коэффициент при \(y^2\) был положительным: \(2y^2 + 12y + 10 = 0\). Теперь разделим все члены на 2 для упрощения: \(y^2 + 6y + 5 = 0\).

Решаем полученное квадратное уравнение \(y^2 + 6y + 5 = 0\). Вычислим дискриминант: \(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16\). Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле \(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 5\). Подставляем: \(y = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 4}{2}\). Получаем два значения: \(y_1 = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1\) и \(y_2 = \frac{-6 — 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5\).

Для каждого значения \(y\) найдем соответствующее \(x\), используя выражение \(x = 6 — y\). Если \(y_1 = -1\), то \(x_1 = 6 — (-1) = 6 + 1 = 7\). Если \(y_2 = -5\), то \(x_2 = 6 — (-5) = 6 + 5 = 11\). Таким образом, получаем две пары решений: \((7, -1)\) и \((11, -5)\).

Проверим решения, подставив их в исходные уравнения. Для пары \((7, -1)\): первое уравнение \(7^2 — 3 \cdot (-1)^2 = 49 — 3 \cdot 1 = 49 — 3 = 46\), что верно; второе уравнение \(7 + (-1) = 6\), тоже верно. Для пары \((11, -5)\): первое уравнение \(11^2 — 3 \cdot (-5)^2 = 121 — 3 \cdot 25 = 121 — 75 = 46\), верно; второе уравнение \(11 + (-5) = 6\), тоже верно. Оба решения корректны.

Ответ: \((11, -5)\); \((7, -1)\).

2) Рассмотрим систему уравнений \(\begin{cases} x^2 — 2y^2 = -4 \\ x^2 + 2y^2 = 12 \end{cases}\). Здесь оба уравнения нелинейные, но их структура позволяет использовать метод сложения или вычитания для устранения одной из переменных.

Сложим оба уравнения, чтобы избавиться от \(y^2\). При сложении \((x^2 — 2y^2) + (x^2 + 2y^2) = -4 + 12\) получаем \(2x^2 = 8\), откуда \(x^2 = 4\), а значит \(x = \pm 2\). Таким образом, \(x\) может быть равен \(2\) или \(-2\).

Теперь подставим каждое значение \(x\) во второе уравнение \(x^2 + 2y^2 = 12\), чтобы найти \(y\). Если \(x = 2\), то \(2^2 + 2y^2 = 12\), то есть \(4 + 2y^2 = 12\), откуда \(2y^2 = 8\), \(y^2 = 4\), а значит \(y = \pm 2\). Если \(x = -2\), то \((-2)^2 + 2y^2 = 12\), что дает то же самое: \(4 + 2y^2 = 12\), \(2y^2 = 8\), \(y^2 = 4\), \(y = \pm 2\).

Таким образом, получаем четыре возможные пары решений: \((2, 2)\), \((2, -2)\), \((-2, 2)\), \((-2, -2)\). Проверим их в первом уравнении \(x^2 — 2y^2 = -4\). Для \((2, 2)\): \(2^2 — 2 \cdot 2^2 = 4 — 8 = -4\), верно. Для \((2, -2)\): \(2^2 — 2 \cdot (-2)^2 = 4 — 8 = -4\), верно. Для \((-2, 2)\): \((-2)^2 — 2 \cdot 2^2 = 4 — 8 = -4\), верно. Для \((-2, -2)\): \((-2)^2 — 2 \cdot (-2)^2 = 4 — 8 = -4\), тоже верно.

Все четыре пары удовлетворяют обоим уравнениям системы. Ответ: \((2, 2)\); \((2, -2)\); \((-2, 2)\); \((-2, -2)\).