ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 759 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Чему равно наименьшее целое решение неравенства \(3(x-1)^2 — 3x(x-5) > -40\)?

Наименьшее целое решение неравенства \(3(x-1)^2 — 3x(x-5) > -40\) равно \(-4\).

Краткое решение: преобразуем неравенство. Раскроем скобки: \(3(x^2 — 2x + 1) — 3x^2 + 15x > -40\), что упрощается до \(3x^2 — 6x + 3 — 3x^2 + 15x > -40\), или \(9x + 3 > -40\). Тогда \(9x > -43\), откуда \(x > -\frac{43}{9}\), что примерно равно \(-4.777\ldots\). Наименьшее целое число, большее чем \(-4.777\ldots\), это \(-4\). Проверка показывает, что при \(x = -4\) неравенство выполняется.

1. Рассмотрим неравенство \(3(x-1)^2 — 3x(x-5) > -40\). Наша цель — найти наименьшее целое число \(x\), которое удовлетворяет этому неравенству. Для этого необходимо упростить выражение и решить его шаг за шагом.

2. Начнем с раскрытия скобок в выражении. Раскроем квадрат в первом слагаемом: \((x-1)^2 = x^2 — 2x + 1\). Умножим на 3: \(3(x^2 — 2x + 1) = 3x^2 — 6x + 3\). Теперь раскроем второе слагаемое: \(-3x(x-5) = -3x^2 + 15x\). Подставим эти выражения в исходное неравенство: \(3x^2 — 6x + 3 — 3x^2 + 15x > -40\).

3. Упростим выражение, сложив подобные слагаемые. Слагаемые с \(x^2\) сокращаются: \(3x^2 — 3x^2 = 0\). Слагаемые с \(x\): \(-6x + 15x = 9x\). Константы: \(3 > -40\). Таким образом, неравенство принимает вид: \(9x + 3 > -40\).

4. Перенесем константу в правую часть, чтобы выделить \(x\): \(9x > -40 — 3\), что равно \(9x > -43\). Теперь разделим обе части на 9: \(x > -\frac{43}{9}\). Вычислим значение \(-\frac{43}{9}\): это примерно \(-4.777\ldots\). Таким образом, \(x > -4.777\ldots\).

5. Поскольку нас интересует наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству, выбираем ближайшее целое число, большее чем \(-4.777\ldots\). Это число \(-4\), так как \(-4 > -4.777\ldots\).

6. Проверим, действительно ли \(x = -4\) удовлетворяет исходное неравенство. Подставим \(x = -4\) в выражение \(3(x-1)^2 — 3x(x-5)\). Сначала вычислим \(x-1 = -4-1 = -5\), тогда \((x-1)^2 = (-5)^2 = 25\), и \(3 \cdot 25 = 75\). Далее, \(x(x-5) = (-4) \cdot (-4-5) = (-4) \cdot (-9) = 36\), и \(-3 \cdot 36 = -108\). Теперь сложим: \(75 — 108 = -33\). Сравним с \(-40\): \(-33 > -40\), что истинно. Значит, \(x = -4\) удовлетворяет неравенству.

7. Проверим также предыдущее целое число, \(x = -5\), чтобы убедиться, что \(-4\) — наименьшее. Подставим \(x = -5\): \(x-1 = -5-1 = -6\), тогда \((x-1)^2 = 36\), и \(3 \cdot 36 = 108\). Далее, \(x(x-5) = (-5) \cdot (-5-5) = (-5) \cdot (-10) = 50\), и \(-3 \cdot 50 = -150\). Теперь сложим: \(108 — 150 = -42\). Сравним с \(-40\): \(-42 < -40\), что ложно. Значит, \(x = -5\) не удовлетворяет неравенству. 8. Таким образом, наименьшее целое число, при котором выполняется неравенство, это \(-4\). Все целые числа больше \(-4\) (например, \(-3, -2, -1, 0\) и так далее) также будут удовлетворять неравенству, так как \(x > -4.777\ldots\), но нас интересует именно наименьшее.

9. Итак, мы получили, что \(x > -\frac{43}{9}\), и наименьшее целое число, большее этого значения, равно \(-4\). Проверка подтвердила, что при \(x = -4\) неравенство выполняется, а при \(x = -5\) — нет.

10. Ответ: наименьшее целое решение неравенства \(3(x-1)^2 — 3x(x-5) > -40\) равно \(-4\).