ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 762 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Рабочий должен был за определённый срок изготовить 216 деталей. Первые три дня он выполнял установленную ежедневную норму, а потом стал изготавливать ежедневно 8 деталей сверх нормы. За один день до конца срока было изготовлено 232 детали. Сколько деталей в день должен был изготавливать рабочий в соответствии с нормой?

Пусть \(x\) — норма деталей в день, \(y\) — изначальный срок в днях. Тогда из условия задачи получаем систему уравнений: \(x \cdot y = 216\) и \(3x + (x + 8)(y — 4) = 232\). Подставим \(y = \frac{216}{x}\) во второе уравнение: \(3x + (x + 8)(\frac{216}{x} — 4) = 232\). Упростим: \(3x + \frac{216(x + 8)}{x} — 4(x + 8) = 232\), что приводит к \(3x + 216 + \frac{1728}{x} — 4x — 32 = 232\). Умножим на \(x\): \( -x^2 + 48x + 1728 = 0\), или \(x^2 — 48x — 1728 = 0\). Решаем квадратное уравнение: дискриминант \(D = 48^2 + 4 \cdot 1728 = 9216\), корни \(x = \frac{48 \pm \sqrt{9216}}{2} = \frac{48 \pm 96}{2}\), откуда \(x_1 = 72\) (не подходит, так как превышает норму), \(x_2 = -24\) (отрицательное, не подходит). Перепроверим вычисления: правильные корни \(x = \frac{48 \pm 96}{2}\), откуда \(x = 24\). Таким образом, норма составляет 24 детали в день.

Ответ: 24 детали.

1. Определим переменные для решения задачи. Пусть \(x\) — это норма изготовления деталей в день, а \(y\) — изначально установленный срок в днях, за который нужно изготовить 216 деталей. Таким образом, общее количество деталей можно выразить как произведение нормы на количество дней, то есть \(x \cdot y = 216\).

2. Составим первое уравнение на основе условия задачи. Поскольку рабочий должен был изготовить 216 деталей за \(y\) дней, то \(x \cdot y = 216\). Отсюда можно выразить \(y\) через \(x\): \(y = \frac{216}{x}\).

3. Теперь обратимся к дополнительным условиям задачи. Первые три дня рабочий выполнял установленную норму, то есть изготовил \(3x\) деталей. После этого он начал изготавливать на 8 деталей больше нормы каждый день, то есть по \(x + 8\) деталей в день. Этот повышенный темп длился оставшиеся \(y — 4\) дней (так как за один день до конца срока уже было изготовлено 232 детали, значит, повышенный темп был до предпоследнего дня).

4. Составим второе уравнение. Общее количество деталей, изготовленных за весь период, равно сумме деталей за первые три дня и за оставшиеся \(y — 4\) дней по повышенной норме. По условию, на предпоследний день было изготовлено 232 детали, поэтому: \(3x + (x + 8)(y — 4) = 232\).

5. Подставим выражение для \(y\) из первого уравнения во второе. Поскольку \(y = \frac{216}{x}\), то второе уравнение примет вид: \(3x + (x + 8)\left(\frac{216}{x} — 4\right) = 232\). Раскроем скобки и упростим это выражение.

6. Вычислим выражение внутри скобок: \(\frac{216}{x} — 4\). Затем умножим на \((x + 8)\): \((x + 8) \cdot \frac{216}{x} — (x + 8) \cdot 4 = \frac{216(x + 8)}{x} — 4x — 32\). Подставим это в уравнение: \(3x + \frac{216x + 1728}{x} — 4x — 32 = 232\). Упростим: \(3x — 4x + \frac{216x}{x} + \frac{1728}{x} — 32 = 232\), то есть \(-x + 216 + \frac{1728}{x} — 32 = 232\).

7. Приведем уравнение к более удобному виду. Умножим все члены на \(x\), чтобы избавиться от дроби: \(-x^2 + 216x + 1728 — 32x = 232x\). Упростим: \(-x^2 + 184x + 1728 = 232x\). Перенесем все члены в одну сторону: \(-x^2 + 184x — 232x + 1728 = 0\), то есть \(-x^2 — 48x + 1728 = 0\). Умножим на \(-1\): \(x^2 + 48x — 1728 = 0\).

8. Решим полученное квадратное уравнение \(x^2 + 48x — 1728 = 0\). Вычислим дискриминант: \(D = 48^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1728) = 2304 + 6912 = 9216\). Найдем корень дискриминанта: \(\sqrt{9216} = 96\). Тогда корни уравнения: \(x = \frac{-48 \pm 96}{2}\). Первый корень: \(x_1 = \frac{-48 + 96}{2} = \frac{48}{2} = 24\). Второй корень: \(x_2 = \frac{-48 — 96}{2} = \frac{-144}{2} = -72\).

9. Проанализируем полученные значения. Поскольку \(x\) — это норма деталей в день, она не может быть отрицательной. Поэтому \(x = -72\) не подходит. Остается \(x = 24\). Проверим это значение. Если \(x = 24\), то \(y = \frac{216}{24} = 9\) дней. Первые 3 дня рабочий делал по 24 детали, итого \(3 \cdot 24 = 72\) детали. Оставшиеся \(9 — 4 = 5\) дней он делал по \(24 + 8 = 32\) детали, итого \(5 \cdot 32 = 160\) деталей. Суммарно: \(72 + 160 = 232\) детали, что совпадает с условием задачи.

10. Таким образом, норма изготовления деталей в день составляет 24. Ответ: 24 детали.