ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 776 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму тридцати трёх первых членов арифметической прогрессии \((a_n)\), если \(a_9 + a_{11} + a_{13} = 33\) и \(a_{15} — a_8 — a_{10} = -1\).

Сумма тридцати трёх первых членов арифметической прогрессии равна \(S_{33} = 1188\). Краткое решение: из условия \(a_9 + a_{11} + a_{13} = 33\) получаем \(3a_1 + 30d = 33\), то есть \(a_1 + 10d = 11\). Из условия \(a_{15} — a_8 — a_{10} = -1\) получаем \(-a_1 — 2d = -1\), то есть \(a_1 + 2d = 1\). Решаем систему: \(a_1 = -4\), \(d = 2.5\). Тогда сумма \(S_{33} = \frac{33}{2} \cdot (2a_1 + 32d) = \frac{33}{2} \cdot (2 \cdot (-4) + 32 \cdot 2.5) = 33 \cdot 36 = 1188\).

1) Дано: арифметическая прогрессия \((a_n)\), для которой выполнены условия \(a_9 + a_{11} + a_{13} = 33\) и \(a_{15} — a_8 — a_{10} = -1\). Необходимо найти сумму первых тридцати трёх членов прогрессии, то есть \(S_{33}\). Для решения используем формулу общего члена арифметической прогрессии \(a_n = a_1 + (n-1)d\), где \(a_1\) — первый член, а \(d\) — разность прогрессии.

2) Рассмотрим второе уравнение: \(a_{15} — a_8 — a_{10} = -1\). Подставим выражения для членов прогрессии: \(a_{15} = a_1 + 14d\), \(a_8 = a_1 + 7d\), \(a_{10} = a_1 + 9d\). Тогда уравнение принимает вид: \((a_1 + 14d) — (a_1 + 7d) — (a_1 + 9d) = -1\). Упростим: \(a_1 + 14d — a_1 — 7d — a_1 — 9d = -1\), что дает \(-a_1 — 2d = -1\). Перенесем члены: \(-a_1 — 2d = -1\), умножим на \(-1\): \(a_1 + 2d = 1\). Таким образом, получаем первое соотношение: \(a_1 = 1 — 2d\).

3) Теперь рассмотрим первое уравнение: \(a_9 + a_{11} + a_{13} = 33\). Подставим выражения: \(a_9 = a_1 + 8d\), \(a_{11} = a_1 + 10d\), \(a_{13} = a_1 + 12d\). Сумма: \((a_1 + 8d) + (a_1 + 10d) + (a_1 + 12d) = 33\), что упрощается до \(3a_1 + 30d = 33\). Разделим обе части на 3: \(a_1 + 10d = 11\). Подставим сюда выражение для \(a_1\) из предыдущего шага: \(1 — 2d + 10d = 11\), то есть \(1 + 8d = 11\). Вычтем 1: \(8d = 10\), откуда \(d = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 2.5\). Теперь найдём \(a_1\): \(a_1 = 1 — 2 \cdot 2.5 = 1 — 5 = -4\).

4) Имеем \(a_1 = -4\), \(d = 2.5\). Найдем сумму первых 33 членов прогрессии по формуле \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)\). Для \(n = 33\): \(S_{33} = \frac{33}{2} \cdot (2 \cdot (-4) + 32 \cdot 2.5)\). Считаем внутри скобок: \(2 \cdot (-4) = -8\), \(32 \cdot 2.5 = 80\), итого \(-8 + 80 = 72\). Теперь \(S_{33} = \frac{33}{2} \cdot 72 = 33 \cdot 36 = 1188\).

5) Ответ: сумма первых тридцати трёх членов арифметической прогрессии равна \(S_{33} = 1188\).