ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 777 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При любом \(n\) сумму \(n\) первых членов некоторой арифметической прогрессии можно вычислить по формуле \(S_n = 3n^2 + 5n\). Найдите три первых члена этой прогрессии.

Для нахождения первых трех членов арифметической прогрессии, заданной формулой суммы \(S_n = 3n^2 + 5n\), вычислим значения суммы для \(n=1\), \(n=2\) и \(n=3\), а затем определим сами члены как разности последовательных сумм. Имеем \(S_1 = 3 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 = 8\), \(S_2 = 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2 = 22\), \(S_3 = 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 = 42\). Первый член \(a_1 = S_1 = 8\), второй член \(a_2 = S_2 — S_1 = 22 — 8 = 14\), третий член \(a_3 = S_3 — S_2 = 42 — 22 = 20\). Ответ: 8, 14, 20.

Для решения задачи о нахождении первых трех членов арифметической прогрессии, заданной формулой суммы \(S_n = 3n^2 + 5n\), проведем пошаговые вычисления с детальным объяснением каждого этапа.

1) Сначала вычислим сумму первых членов прогрессии для \(n=1\), \(n=2\) и \(n=3\), используя заданную формулу \(S_n = 3n^2 + 5n\). Для \(n=1\): \(S_1 = 3 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 = 3 + 5 = 8\). Для \(n=2\): \(S_2 = 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2 = 3 \cdot 4 + 10 = 12 + 10 = 22\). Для \(n=3\): \(S_3 = 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 = 3 \cdot 9 + 15 = 27 + 15 = 42\). Таким образом, суммы первых членов равны 8, 22 и 42 соответственно.

2) Теперь определим сами члены прогрессии, используя свойство, что каждый член, начиная со второго, равен разности между соответствующими суммами: \(a_n = S_n — S_{n-1}\), а первый член равен первой сумме, то есть \(a_1 = S_1\). Итак, \(a_1 = S_1 = 8\). Далее, \(a_2 = S_2 — S_1 = 22 — 8 = 14\). Затем, \(a_3 = S_3 — S_2 = 42 — 22 = 20\). Таким образом, первые три члена прогрессии найдены.

Ответ: 8; 14; 20.