ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 779 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

(Старинная египетская задача.) Сто мер хлеба надо разделить на пять человек так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвёртый больше третьего и пятый больше четвёртого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше, чем трое последних. Сколько надо дать каждому?

Пусть количество хлеба, полученное первым человеком, равно \(x\). Тогда, согласно условию, второй получает \(x + d\), третий — \(x + 2d\), четвёртый — \(x + 3d\), пятый — \(x + 4d\), где \(d\) — разница между соседними долями. Сумма всех долей равна 100, то есть \(x + (x + d) + (x + 2d) + (x + 3d) + (x + 4d) = 5x + 10d = 100\), что упрощается до \(x + 2d = 20\). Второе условие: первые двое получают в 7 раз меньше, чем последние трое, то есть \(x + (x + d) = \frac{1}{7} \cdot [(x + 2d) + (x + 3d) + (x + 4d)]\), что даёт \(2x + d = \frac{1}{7} \cdot (3x + 9d)\), или после умножения на 7: \(14x + 7d = 3x + 9d\), откуда \(11x = 2d\), или \(d = \frac{11}{2}x\). Подставим \(d\) в первое уравнение \(x + 2 \cdot \frac{11}{2}x = 20\), то есть \(x + 11x = 20\), откуда \(12x = 20\), \(x = \frac{5}{3}\). Тогда \(d = \frac{11}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{55}{6}\). Итак, доли: первый — \(\frac{5}{3}\), второй — \(\frac{5}{3} + \frac{55}{6} = \frac{65}{6}\), третий — \(\frac{65}{6} + \frac{55}{6} = \frac{120}{6} = 20\), четвёртый — \(20 + \frac{55}{6} = \frac{175}{6}\), пятый — \(\frac{175}{6} + \frac{55}{6} = \frac{230}{6} = \frac{115}{3}\).

1. Дана старинная египетская задача о распределении 100 мер хлеба между пятью людьми. Условия задачи таковы: второй человек должен получить на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвёртый больше третьего и пятый больше четвёртого. Это означает, что разница между долями соседних людей постоянна, то есть последовательность долей образует арифметическую прогрессию. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше, чем трое последних. Наша цель — определить, сколько хлеба должен получить каждый человек.

2. Обозначим долю первого человека как \(a_1\). Поскольку разница между долями соседних людей одинакова, обозначим эту разницу как \(d\). Тогда доля второго человека будет \(a_1 + d\), третьего — \(a_1 + 2d\), четвёртого — \(a_1 + 3d\), а пятого — \(a_1 + 4d\). Первое условие задачи гласит, что сумма всех долей равна 100 мерам хлеба. Запишем это уравнение: \(a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 4d) = 100\). Упростим выражение: \(5a_1 + 10d = 100\), или, разделив обе части на 5, получим \(a_1 + 2d = 20\).

3. Второе условие задачи: двое первых получают в 7 раз меньше, чем трое последних. Это означает, что сумма долей первых двух людей равна \(\frac{1}{7}\) суммы долей последних трёх людей. Запишем это как уравнение: \(a_1 + (a_1 + d) = \frac{1}{7} \cdot [(a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 4d)]\). Упростим левую часть: \(2a_1 + d\), а правую часть: \(\frac{1}{7} \cdot (3a_1 + 9d)\). Итак, уравнение принимает вид: \(2a_1 + d = \frac{1}{7} \cdot (3a_1 + 9d)\). Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на 7: \(14a_1 + 7d = 3a_1 + 9d\). Перенесём все члены в одну сторону: \(14a_1 + 7d — 3a_1 — 9d = 0\), что даёт \(11a_1 — 2d = 0\), или \(2d = 11a_1\), откуда \(d = \frac{11}{2}a_1\).

4. Теперь подставим значение \(d = \frac{11}{2}a_1\) в уравнение из пункта 2, то есть \(a_1 + 2d = 20\). Получаем: \(a_1 + 2 \cdot \frac{11}{2}a_1 = 20\), что упрощается до \(a_1 + 11a_1 = 20\), или \(12a_1 = 20\). Отсюда \(a_1 = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}\). Теперь найдём \(d\): \(d = \frac{11}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{55}{6}\).

5. Определим доли каждого человека, используя значения \(a_1 = \frac{5}{3}\) и \(d = \frac{55}{6}\). Доля первого человека: \(a_1 = \frac{5}{3}\). Доля второго: \(a_1 + d = \frac{5}{3} + \frac{55}{6} = \frac{10}{6} + \frac{55}{6} = \frac{65}{6}\). Доля третьего: \(a_1 + 2d = \frac{5}{3} + 2 \cdot \frac{55}{6} = \frac{5}{3} + \frac{110}{6} = \frac{10}{6} + \frac{110}{6} = \frac{120}{6} = 20\). Доля четвёртого: \(a_1 + 3d = \frac{5}{3} + 3 \cdot \frac{55}{6} = \frac{5}{3} + \frac{165}{6} = \frac{10}{6} + \frac{165}{6} = \frac{175}{6}\). Доля пятого: \(a_1 + 4d = \frac{5}{3} + 4 \cdot \frac{55}{6} = \frac{5}{3} + \frac{220}{6} = \frac{10}{6} + \frac{220}{6} = \frac{230}{6} = \frac{115}{3}\).

6. Проверим выполнение условий. Сумма всех долей: \(\frac{5}{3} + \frac{65}{6} + 20 + \frac{175}{6} + \frac{115}{3}\). Приведём к общему знаменателю 6: \(\frac{10}{6} + \frac{65}{6} + \frac{120}{6} + \frac{175}{6} + \frac{230}{6} = \frac{600}{6} = 100\), что соответствует первому условию. Теперь проверим второе условие: сумма первых двух долей равна \(\frac{5}{3} + \frac{65}{6} = \frac{10}{6} + \frac{65}{6} = \frac{75}{6} = \frac{25}{2}\), а сумма последних трёх долей: \(20 + \frac{175}{6} + \frac{115}{3} = \frac{120}{6} + \frac{175}{6} + \frac{230}{6} = \frac{525}{6} = \frac{175}{2}\). Соотношение: \(\frac{25}{2} \cdot 7 = \frac{175}{2}\), что подтверждает выполнение условия (двое первых получают в 7 раз меньше, чем трое последних).

7. Таким образом, распределение хлеба между пятью людьми следующее: первый получает \(\frac{5}{3}\) меры, второй — \(\frac{65}{6}\) мер, третий — \(20\) мер, четвёртый — \(\frac{175}{6}\) мер, пятый — \(\frac{115}{3}\) меры.