ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 78 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что периметр четырёхугольника больше суммы его диагоналей.

1) В треугольнике \(ABC\): \(AC < AB + BC\);

2) В треугольнике \(ADC\): \(AC < AD + DC\);

3) В треугольнике \(ABD\): \(BD < AB + AD\);

4) В треугольнике \(BCD\): \(BD < BC + CD\);

Сложим неравенства 1) и 2): \(2AC < AB + BC + AD + DC\);

Сложим неравенства 3) и 4): \(2BD < AB + AD + BC + CD\);

Сложим полученные неравенства: \(2AC + 2BD < 2(AB + BC + CD + AD)\);

Поделим обе части на 2: \(AC + BD < AB + BC + CD + AD\);

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим четырёхугольник \(ABCD\) с диагоналями \(AC\) и \(BD\).

В треугольнике \(ABC\) по неравенству треугольника сторона \(AC\) меньше суммы двух других сторон, то есть \(AC < AB + BC\).

Аналогично, в треугольнике \(ADC\) по неравенству треугольника \(AC < AD + DC\).

В треугольнике \(ABD\) по неравенству треугольника диагональ \(BD\) меньше суммы сторон \(AB\) и \(AD\), то есть \(BD < AB + AD\).

В треугольнике \(BCD\) по неравенству треугольника \(BD < BC + CD\).

Теперь сложим неравенства из первых двух треугольников: \(AC + AC < (AB + BC) + (AD + DC)\), что даёт \(2AC < AB + BC + AD + DC\).

Сложим неравенства из последних двух треугольников: \(BD + BD < (AB + AD) + (BC + CD)\), то есть \(2BD < AB + AD + BC + CD\).

Сложим полученные два неравенства: \(2AC + 2BD < (AB + BC + AD + DC) + (AB + AD + BC + CD)\).

Упростим правую часть: \(2AC + 2BD < 2(AB + BC + CD + AD)\).

Поделим обе части на 2: \(AC + BD < AB + BC + CD + AD\).

Таким образом, сумма диагоналей четырёхугольника меньше суммы всех его сторон.