ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 781 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Чему равна сумма \(n\) первых чётных чисел?

Сумма \(n\) первых чётных чисел равна \(n(n + 1)\). Это можно вывести из формулы суммы арифметической прогрессии, где первый член \(a_1 = 2\), а общий член \(a_n = 2n\). Сумма первых \(n\) членов такой прогрессии равна \(\frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} \cdot (2 + 2n) = n(n + 1)\).

1. Дана арифметическая прогрессия, где первый член \(a_1 = 2\), а разность \(d = 2\). Нам нужно найти сумму первых \(n\) членов этой прогрессии, которая соответствует сумме первых \(n\) чётных чисел.

2. Формула для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии имеет вид \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n-1))\). Подставим значения \(a_1 = 2\) и \(d = 2\) в эту формулу.

3. Вычислим выражение внутри скобок: \(2a_1 = 2 \cdot 2 = 4\), а \(d(n-1) = 2(n-1) = 2n — 2\). Тогда \(2a_1 + d(n-1) = 4 + 2n — 2 = 2n + 2\).

4. Теперь подставим это в формулу суммы: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2n + 2)\). Упростим выражение, вынося 2 за скобки: \(2n + 2 = 2(n + 1)\), следовательно, \(S_n = \frac{n}{2} \cdot 2(n + 1) = n(n + 1)\).

5. Можно также использовать альтернативную формулу суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\), где \(a_n\) — последний член прогрессии. Для нашего случая \(a_n = a_1 + d(n-1) = 2 + 2(n-1) = 2n\).

6. Тогда \(a_1 + a_n = 2 + 2n = 2(n + 1)\), и сумма \(S_n = \frac{n}{2} \cdot 2(n + 1) = n(n + 1)\), что совпадает с предыдущим результатом.

7. Таким образом, сумма первых \(n\) членов прогрессии, то есть сумма первых \(n\) чётных чисел, равна \(n(n + 1)\).

8. Проверим на малых значениях \(n\). Например, для \(n = 1\): сумма равна \(2\), а \(1 \cdot (1 + 1) = 2\), совпадает.

9. Для \(n = 2\): сумма равна \(2 + 4 = 6\), а \(2 \cdot (2 + 1) = 6\), тоже совпадает. Для \(n = 3\): сумма равна \(2 + 4 + 6 = 12\), а \(3 \cdot (3 + 1) = 12\), результат верный.

10. Ответ: сумма первых \(n\) чётных чисел равна \(n(n + 1)\).