ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 782 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Какое натуральное число равно сумме всех предшествующих ему натуральных чисел?

Нам нужно найти натуральное число \( n \), которое равно сумме всех предшествующих ему натуральных чисел, то есть \( 1 + 2 + \dots + (n-1) \). Сумма первых \( k \) натуральных чисел вычисляется по формуле \( \frac{k(k+1)}{2} \). Для чисел от 1 до \( n-1 \) сумма будет \( \frac{(n-1)n}{2} \). Условие задачи: \( n = \frac{(n-1)n}{2} \). Умножим обе стороны на 2: \( 2n = n(n-1) \), или \( n^2 — 3n = 0 \), откуда \( n(n-3) = 0 \). Решения: \( n = 0 \) (не подходит, так как \( n \) натуральное) и \( n = 3 \). Проверим: для \( n = 3 \), сумма предшествующих чисел \( 1 + 2 = 3 \), что равно самому числу. Ответ: 3.

1) Мы решаем задачу, в которой требуется найти натуральное число \( n \), равное сумме всех натуральных чисел, предшествующих ему, то есть \( n = 1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) \). Натуральные числа — это положительные целые числа, начинающиеся с 1, поэтому предшествующие числа для \( n \) — это последовательность от 1 до \( n-1 \). Сумма этой последовательности должна быть равна самому числу \( n \), что делает задачу интересной и требующей математического подхода. Для начала нам нужно выразить эту сумму через известную формулу арифметической прогрессии, чтобы упростить вычисления. Мы знаем, что сумма первых \( k \) натуральных чисел равна \( \frac{k(k+1)}{2} \), и в нашем случае \( k = n-1 \), поэтому сумма чисел от 1 до \( n-1 \) будет равна \( \frac{(n-1)(n-1+1)}{2} = \frac{(n-1)n}{2} \). Таким образом, условие задачи преобразуется в уравнение \( n = \frac{(n-1)n}{2} \), которое нам предстоит решить.

2) Теперь приступим к решению уравнения \( n = \frac{(n-1)n}{2} \). Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на 2, что дает \( 2n = n(n-1) \). Раскроем скобки на правой стороне: \( n(n-1) = n^2 — n \), следовательно, уравнение принимает вид \( 2n = n^2 — n \). Чтобы привести уравнение к стандартному виду, переместим все члены в одну сторону: \( n^2 — n — 2n = 0 \), что упрощается до \( n^2 — 3n = 0 \). Это квадратное уравнение, которое можно разложить на множители: \( n(n-3) = 0 \). Решениями являются \( n = 0 \) и \( n = 3 \). Однако, поскольку \( n \) должно быть натуральным числом, значение \( n = 0 \) не подходит, так как натуральные числа начинаются с 1. Таким образом, единственным возможным решением остается \( n = 3 \). Этот результат кажется логичным, но требует проверки, чтобы убедиться, что он действительно удовлетворяет условию задачи. Также стоит отметить, что квадратное уравнение может иметь до двух корней, но в контексте натуральных чисел мы отбрасываем неподходящие значения.

3) Проверим, действительно ли \( n = 3 \) удовлетворяет условию задачи. Если \( n = 3 \), то предшествующие ему натуральные числа — это 1 и 2. Вычислим их сумму: \( 1 + 2 = 3 \). Эта сумма равна самому числу \( n = 3 \), что полностью соответствует условию задачи. Давайте также рассмотрим, что происходит с другими значениями \( n \), чтобы убедиться, что \( n = 3 \) — единственное решение. Например, если взять \( n = 2 \), то предшествующее число — только 1, и сумма равна 1, что не равно 2. Если взять \( n = 4 \), то сумма предшествующих чисел равна \( 1 + 2 + 3 = 6 \), что больше 4. Если взять \( n = 1 \), то предшествующих чисел нет, и сумма равна 0, что не равно 1. Таким образом, только при \( n = 3 \) условие выполняется. Можно также заметить, что при увеличении \( n \) сумма предшествующих чисел растет быстрее, чем само \( n \), поскольку она пропорциональна \( n^2 \), а именно \( \frac{(n-1)n}{2} \), что делает маловероятным существование других решений для больших значений \( n \). Чтобы окончательно убедиться, можно рассмотреть поведение функции \( f(n) = \frac{(n-1)n}{2} — n \), которая должна равняться нулю. Мы уже нашли, что \( f(3) = 0 \), и для \( n > 3 \) значение \( f(n) \) становится положительным и растет, что подтверждает отсутствие других решений. Итак, единственное натуральное число, удовлетворяющее условию, — это \( n = 3 \). Ответ: 3.

4) Для полноты картины давайте еще раз разберем, откуда взялась формула суммы арифметической прогрессии \( \frac{k(k+1)}{2} \), чтобы понять, почему она работает. Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на постоянную разность, в нашем случае на 1. Для чисел от 1 до \( k \) можно представить сумму как пары чисел: 1 и \( k \), 2 и \( k-1 \), и так далее, каждая из которых дает сумму \( k+1 \). Количество таких пар равно \( \frac{k}{2} \), если \( k \) четное, или чуть сложнее при нечетном \( k \), но в любом случае итоговая формула суммы получается \( \frac{k(k+1)}{2} \). В нашем случае для \( k = n-1 \) это дает \( \frac{(n-1)n}{2} \), что мы и использовали. Понимание этой формулы помогает убедиться в правильности наших вычислений. Также можно проверить сумму для небольших значений: например, для \( k = 4 \) сумма \( 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \), а по формуле \( \frac{4 \cdot 5}{2} = 10 \), что совпадает. Это подтверждает, что мы правильно применили формулу к нашей задаче.

5) В заключение стоит отметить, что задачи на суммы последовательностей часто встречаются в математике и программировании, и умение быстро находить такие суммы с помощью формул значительно упрощает решение. В данном случае мы не только нашли ответ \( n = 3 \), но и убедились, что других решений среди натуральных чисел нет. Мы рассмотрели уравнение \( n = \frac{(n-1)n}{2} \), преобразовали его в квадратное уравнение \( n^2 — 3n = 0 \), нашли корни, отбросили неподходящий, проверили решение на практике и даже рассмотрели поведение функции для других значений \( n \). Такой подход позволяет не только решить задачу, но и глубоко понять, почему именно \( n = 3 \) является ответом. Это также учит нас проверять решения и анализировать, возможны ли другие варианты, что важно для математического мышления. Ответ остается неизменным: 3.