ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 784 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии \(8,4; 7,8; 7,2; \dots\).

Сумма всех положительных членов арифметической прогрессии равна 63.

Краткое объяснение: арифметическая прогрессия задана с первым членом \(a_1 = 8,4\) и разностью \(d = -0,6\). Положительные члены определяются условием \(a_n = 8,4 — 0,6(n-1) > 0\), откуда \(n < 15\), то есть положительных членов 14. Сумма первых 14 членов вычисляется по формуле суммы арифметической прогрессии \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)\), что дает \(S_{14} = \frac{14}{2} \cdot (2 \cdot 8,4 + 13 \cdot (-0,6)) = 7 \cdot (16,8 - 7,8) = 7 \cdot 9 = 63\).

1) Для заданной арифметической прогрессии \(8,4; 7,8; 7,2; \dots\) найдем разность \(d\). Первый член \(a_1 = 8,4\), второй член \(a_2 = 7,8\). Разность вычисляется как \(d = a_2 — a_1 = 7,8 — 8,4 = -0,6\). Таким образом, прогрессия убывающая с разностью \(d = -0,6\).

2) Определим все положительные члены прогрессии. Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + d(n — 1)\). Подставим значения: \(a_n = 8,4 + (-0,6)(n — 1) = 8,4 — 0,6(n — 1)\). Условие положительности: \(a_n > 0\), то есть \(8,4 — 0,6(n — 1) > 0\). Решаем неравенство: \(8,4 — 0,6n + 0,6 > 0\), что дает \(9 — 0,6n > 0\), или \(0,6n < 9\), откуда \(n < 15\). Поскольку \(n\) должно быть целым числом, максимальное значение \(n = 14\). Таким образом, положительных членов 14. 3) Найдем сумму всех положительных членов, то есть сумму первых 14 членов прогрессии. Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n - 1)d)\). Подставим значения: \(S_{14} = \frac{14}{2} \cdot (2 \cdot 8,4 + 13 \cdot (-0,6))\). Сначала вычислим выражение в скобках: \(2 \cdot 8,4 = 16,8\), \(13 \cdot (-0,6) = -7,8\), итого \(16,8 - 7,8 = 9\). Теперь \(S_{14} = 7 \cdot 9 = 63\). Таким образом, сумма всех положительных членов равна 63.