ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 787 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 12 и меньших 200.

Сумма всех натуральных чисел, кратных 12 и меньших 200, равна 1632. Эти числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом \(a_1 = 12\), общим разностью \(d = 12\) и последним членом \(a_n < 200\). Количество членов \(n = 16\), так как \(12 + 12(n-1) < 200\), откуда \(n < 16.67\), то есть \(n = 16\). Сумма вычисляется по формуле \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{16}{2} \cdot (12 + 180) = 8 \cdot 192 = 1632\).

1) Для нахождения количества членов арифметической прогрессии, где первый член \(a_1 = 12\), общая разность \(d = 12\), а последний член \(a_n < 200\), используем формулу общего члена прогрессии \(a_n = a_1 + d(n-1)\). Подставляем значения: \(a_n = 12 + 12(n-1)\). Условие \(a_n < 200\) дает неравенство \(12 + 12(n-1) < 200\). Упростим: \(12 + 12n - 12 < 200\), то есть \(12n < 200\). Отсюда \(n < \frac{200}{12}\), что равно примерно 16.67. Поскольку \(n\) должно быть целым числом, берем наибольшее целое значение, меньшее 16.67, то есть \(n = 16\). 2) Теперь вычислим сумму первых 16 членов этой прогрессии. Формула суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)\). Подставляем значения \(n = 16\), \(a_1 = 12\), \(d = 12\): \(S_{16} = \frac{16}{2} \cdot (2 \cdot 12 + (16-1) \cdot 12) = 8 \cdot (24 + 15 \cdot 12) = 8 \cdot (24 + 180)=\) \( = 8 \cdot 204 = 1632\). 3) Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 12 и меньших 200, равна 1632. Это подтверждается тем, что последний член прогрессии при \(n = 16\) равен \(a_{16} = 12 + 12(16-1) = 12 + 180 = 192\), что меньше 200, а следующий член при \(n = 17\) будет \(12 + 12 \cdot 16 = 204\), что уже больше 200. Ответ: 1632.