ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 79 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что каждая диагональ выпуклого четырёхугольника меньше его полупериметра.

В треугольнике ABC: \( AC < AB + BC \)
В треугольнике ADC: \( AC < AD + DC \)
Сложим: \( AC + AC < AB + BC + AD + DC \), значит \( 2AC < P \), где \( P = AB + BC + CD + DA \), значит \( AC < \frac{P}{2} \).

В треугольнике ABD: \( BD < AB + AD \)
В треугольнике BCD: \( BD < BC + CD \)
Сложим: \( BD + BD < AB + AD + BC + CD \), значит \( 2BD < P \), значит \( BD < \frac{P}{2} \).

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим четырёхугольник \(ABCD\) и его периметр \(P = AB + BC + CD + DA\).

В треугольнике \(ABC\) по неравенству треугольника сторона \(AC\) меньше суммы двух других сторон, то есть \(AC < AB + BC\).

В треугольнике \(ADC\) также по неравенству треугольника сторона \(AC\) меньше суммы двух других сторон, то есть \(AC < AD + DC\).

Теперь сложим эти два неравенства: \(AC + AC < AB + BC + AD + DC\), откуда получается \(2AC < P\).

Разделим обе части на 2 и получим \(AC < \frac{P}{2}\).

Аналогично рассмотрим диагональ \(BD\).

В треугольнике \(ABD\) по неравенству треугольника \(BD < AB + AD\).

В треугольнике \(BCD\) по неравенству треугольника \(BD < BC + CD\).

Сложим эти два неравенства: \(BD + BD < AB + AD + BC + CD\), значит \(2BD < P\).

Разделим обе части на 2 и получим \(BD < \frac{P}{2}\).

Таким образом, каждая диагональ четырёхугольника меньше полупериметра \(P\), что и требовалось доказать.