ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 791 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите первый член арифметической прогрессии, разность которой равна \(-4\), а сумма девяти первых членов составляет \(-54\).

Для арифметической прогрессии с разностью \(d = -4\) и суммой первых девяти членов \(S_9 = -54\) нужно найти первый член \(a_1\). Формула суммы первых \(n\) членов: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)\). Подставим \(n = 9\), \(d = -4\), \(S_9 = -54\): \(-54 = \frac{9}{2} \cdot (2a_1 + 8 \cdot (-4))\). Упростим: \(-54 = \frac{9}{2} \cdot (2a_1 — 32)\), умножим на 2: \(-108 = 9 \cdot (2a_1 — 32)\), разделим на 9: \(-12 = 2a_1 — 32\), тогда \(2a_1 = 20\), \(a_1 = 10\). Ответ: 10.

1. Для решения задачи об арифметической прогрессии нам даны следующие данные: разность прогрессии (или общий член) равна \(d = -4\), а сумма первых девяти членов прогрессии составляет \(S_9 = -54\). Наша цель — найти первый член прогрессии \(a_1\).

2. Вспомним формулу для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)\). Эта формула позволяет выразить сумму через первый член \(a_1\), количество членов \(n\) и разность \(d\).

3. В нашей задаче \(n = 9\), \(d = -4\), а \(S_9 = -54\). Подставим эти значения в формулу: \(S_9 = \frac{9}{2} \cdot (2a_1 + (9-1) \cdot (-4))\). Упростим выражение внутри скобок: \((9-1) \cdot (-4) = 8 \cdot (-4) = -32\), значит, формула принимает вид \(S_9 = \frac{9}{2} \cdot (2a_1 — 32)\).

4. Теперь приравняем это выражение к заданной сумме: \(\frac{9}{2} \cdot (2a_1 — 32) = -54\). Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2: \(9 \cdot (2a_1 — 32) = -108\).

5. Далее разделим обе части на 9, чтобы упростить: \(2a_1 — 32 = \frac{-108}{9}\), что равно \(2a_1 — 32 = -12\). Теперь прибавим 32 к обеим частям уравнения: \(2a_1 = -12 + 32\), то есть \(2a_1 = 20\).

6. Наконец, разделим обе части на 2, чтобы найти \(a_1\): \(a_1 = \frac{20}{2} = 10\). Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен 10.

7. Проверим правильность решения. Формула суммы также может быть записана как \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\), где \(a_n = a_1 + (n-1)d\). Для \(n = 9\), \(a_9 = 10 + 8 \cdot (-4) = 10 — 32 = -22\). Тогда \(S_9 = \frac{9}{2} \cdot (10 + (-22)) = \frac{9}{2} \cdot (-12) = 9 \cdot (-6) = -54\), что совпадает с заданным значением.

8. Итак, наше решение подтверждается. Первый член прогрессии равен 10, и это соответствует всем условиям задачи.

Ответ на задачу: 10