ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 792 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Первый член арифметической прогрессии равен \(-9\), а разность равна 6. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равной 960?

Для арифметической прогрессии с первым членом \(a_1 = -9\), разностью \(d = 6\) и суммой \(S_n = 960\) используем формулу суммы: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n-1))\). Подставим значения: \(960 = \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot (-9) + 6(n-1))\), что упрощается до \(960 = \frac{n}{2} \cdot (6n — 24)\), или \(1920 = n(6n — 24)\), приводя к уравнению \(6n^2 — 24n — 1920 = 0\). Делим на 6: \(n^2 — 4n — 320 = 0\). Дискриминант \(D = 16 + 1280 = 1296\), корень \(n = \frac{4 + \sqrt{1296}}{2} = \frac{4 + 36}{2} = 20\). Ответ: 20.

1. Дана арифметическая прогрессия, где первый член \(a_1 = -9\), а разность \(d = 6\). Требуется найти количество первых членов \(n\), чтобы их сумма \(S_n\) равнялась 960.

2. Для решения задачи используем формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n-1))\). Эта формула позволяет выразить сумму через известные параметры прогрессии и неизвестное количество членов \(n\).

3. Подставим данные значения в формулу: \(960 = \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot (-9) + 6(n-1))\). Сначала вычислим выражение в скобках: \(2 \cdot (-9) = -18\), а \(6(n-1) = 6n — 6\), значит, \(-18 + 6n — 6 = 6n — 24\).

4. Теперь формула принимает вид: \(960 = \frac{n}{2} \cdot (6n — 24)\). Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2: \(1920 = n \cdot (6n — 24)\).

5. Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду: \(1920 = 6n^2 — 24n\). Перенесем все члены в одну сторону: \(6n^2 — 24n — 1920 = 0\).

6. Упростим уравнение, разделив все члены на 6: \(\frac{6n^2}{6} — \frac{24n}{6} — \frac{1920}{6} = 0\), что дает \(n^2 — 4n — 320 = 0\). Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(n\).

7. Для решения квадратного уравнения \(n^2 — 4n — 320 = 0\) вычислим дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -320\). Подставим: \(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-320) = 16 + 1280 = 1296\).

8. Найдем корни уравнения по формуле \(n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставим значения: \(n = \frac{-(-4) \pm \sqrt{1296}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 36}{2}\). Это дает два возможных решения: \(n = \frac{4 + 36}{2} = 20\) и \(n = \frac{4 — 36}{2} = -16\).

9. Поскольку количество членов прогрессии \(n\) не может быть отрицательным, отбрасываем значение \(n = -16\). Таким образом, единственное подходящее решение — \(n = 20\).

10. Ответ: 20.