ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 793 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Какое наименьшее количество последовательных нечётных натуральных чисел, начиная с числа 7, надо сложить, чтобы получить сумму, большую чем 315?

Для решения задачи нужно найти наименьшее количество последовательных нечётных натуральных чисел, начиная с 7, чтобы их сумма превысила 315. Данная последовательность является арифметической с первым членом \(a_1 = 7\) и разностью \(d = 2\). Сумма первых \(n\) членов вычисляется по формуле \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n-1))\). Подставляя значения, получаем \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (14 + 2(n-1)) = n \cdot (n + 6)\). Решаем неравенство \(n(n + 6) > 315\), что приводит к \(n^2 + 6n — 315 > 0\). Находим корни уравнения \(n^2 + 6n — 315 = 0\): дискриминант \(D = 36 + 1260 = 1296\), корни \(n = \frac{-6 \pm \sqrt{1296}}{2} = \frac{-6 \pm 36}{2}\), то есть \(n_1 = -21\) и \(n_2 = 15\). Так как \(n\) должно быть положительным, проверяем значения: при \(n = 15\), \(S_{15} = 15 \cdot 21 = 315\), что равно 315, а при \(n = 16\), \(S_{16} = 16 \cdot 22 = 352\), что больше 315. Таким образом, наименьшее количество членов равно 16.

Ответ: 16

1. Рассмотрим задачу: необходимо определить наименьшее количество последовательных нечётных натуральных чисел, начиная с числа 7, чтобы их сумма превысила 315. Эта последовательность является арифметической, где первый член \(a_1 = 7\), а разность между соседними членами \(d = 2\).

2. Для арифметической последовательности сумма первых \(n\) членов вычисляется по формуле \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n-1))\). Подставим известные значения: \(a_1 = 7\) и \(d = 2\). Тогда \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot 7 + 2(n-1)) = \frac{n}{2} \cdot (14 + 2n — 2) = \frac{n}{2} \cdot (2n + 12) = n \cdot (n + 6)\).

3. Нам нужно найти наименьшее целое число \(n\), при котором сумма \(S_n > 315\). Это приводит к неравенству \(n(n + 6) > 315\). Перепишем его в виде квадратного неравенства: \(n^2 + 6n — 315 > 0\).

4. Чтобы решить это неравенство, сначала найдём корни соответствующего уравнения \(n^2 + 6n — 315 = 0\). Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: дискриминант \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = -315\). Тогда \(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-315) = 36 + 1260 = 1296\).

5. Корни уравнения равны \(n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{1296}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 36}{2}\). Таким образом, \(n_1 = \frac{-6 — 36}{2} = \frac{-42}{2} = -21\) и \(n_2 = \frac{-6 + 36}{2} = \frac{30}{2} = 15\).

6. Корни уравнения делят числовую ось на интервалы. Поскольку коэффициент при \(n^2\) положительный (\(a = 1 > 0\)), парабола направлена вверх, и неравенство \(n^2 + 6n — 315 > 0\) выполняется вне интервала между корнями, то есть при \(n < -21\) или \(n > 15\). Так как \(n\) должно быть положительным целым числом (количество членов последовательности), нас интересует только часть \(n > 15\).

7. Таким образом, наименьшее целое число \(n\), большее 15, равно 16. Проверим значения суммы для \(n = 15\) и \(n = 16\), чтобы убедиться в правильности решения. При \(n = 15\): \(S_{15} = 15 \cdot (15 + 6) = 15 \cdot 21 = 315\). Это значение равно 315, что не удовлетворяет условию \(S_n > 315\).

8. Теперь проверим для \(n = 16\): \(S_{16} = 16 \cdot (16 + 6) = 16 \cdot 22 = 352\). Значение 352 больше 315, что удовлетворяет условию задачи.

9. Следовательно, наименьшее количество членов последовательности, которое нужно сложить, чтобы сумма превысила 315, равно 16. Убедимся, что это минимальное значение, так как при \(n = 15\) сумма равна ровно 315, а не больше.

10. Ответ: 16.