ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 8 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

1) \((a + 3)(a + 1) > a(a + 4)\);

2) \(3(b — 4) + 2b < 5b — 10\);

3) \((c — 4)(c + 4) > c^2 — 20\);

4) \(x(x + 6) — x^2 < 2(3x + 1)\);

5) \((y + 5)(y — 2) \geq 3y — 10\);

6) \(8m^2 — 6m + 1 \leq (3m — 1)^2\);

7) \(a(a — 2) \geq -1\);

8) \((b + 7)^2 > 14b + 40\).

1) \((a + 3)(a + 1) > a(a + 4);\)
\(a^2 + a + 3a + 3 > a^2 + 4a;\)
\(a^2 + 4a + 3 > a^2 + 4a,\)
\(3 > 0;\)
Неравенство доказано.

2) \(3(b — 4) + 2b < 5b — 10;\)
\(3b — 12 + 2b < 5b — 10;\)
\(5b — 12 < 5b — 10,\)
\(-12 < -10;\)
Неравенство доказано.

3) \((c — 4)(c + 4) > c^2 — 20;\)
\(c^2 — 16 > c^2 — 20,\)
\(-16 > -20;\)
Неравенство доказано.

4) \(x(x + 6) — x^2 < 2(3x + 1);\)
\(x^2 + 6x — x^2 < 6x + 2;\)
\(6x < 6x + 2,\)
\(0 < 2;\)
Неравенство доказано.

5) \((y + 5)(y — 2) \geq 3y — 10;\)
\(y^2 — 2y + 5y — 10 \geq 3y — 10;\)
\(y^2 + 3y — 10 \geq 3y — 10,\)
\(y^2 \geq 0;\)
Неравенство доказано.

6) \(8m^2 — 6m + 1 \leq (3m — 1)^2;\)
\(8m^2 — 6m + 1 \leq 9m^2 — 6m + 1;\)
\(8m^2 \leq 9m^2,\)
\(0 \leq m^2;\)
Неравенство доказано.

7) \(a(a — 2) \geq -1;\)
\(a^2 — 2a \geq -1;\)
\(a^2 — 2a + 1 \geq 0;\)
\((a — 1)^2 \geq 0;\)
Неравенство доказано.

8) \((b + 7)^2 > 14b + 40;\)
\(b^2 + 14b + 49 > 14b + 40;\)
\(b^2 + 9 > 0;\)
Неравенство доказано.

1) Раскроем скобки в левой части: \((a + 3)(a + 1) = a^2 + a + 3a + 3 = a^2 + 4a + 3.\) Правая часть равна \(a(a + 4) = a^2 + 4a.\) Сравним: \(a^2 + 4a + 3 > a^2 + 4a.\) Вычтем из обеих частей \(a^2 + 4a:\) останется \(3 > 0.\) Это верно для любого \(a.\)

2) Раскроем скобки в левой части: \(3(b — 4) + 2b = 3b — 12 + 2b = 5b — 12.\) Правая часть равна \(5b — 10.\) Сравним: \(5b — 12 < 5b — 10.\) Вычтем \(5b\) из обеих частей: \(-12 < -10.\) Это верно.

3) Раскроем левую часть: \((c — 4)(c + 4) = c^2 — 16.\) Правая часть: \(c^2 — 20.\) Сравним: \(c^2 — 16 > c^2 — 20.\) Вычтем \(c^2:\) \(-16 > -20.\) Это верно.

4) Раскроем левую часть: \(x(x + 6) — x^2 = x^2 + 6x — x^2 = 6x.\) Правая часть: \(2(3x + 1) = 6x + 2.\) Сравним: \(6x < 6x + 2.\) Вычтем \(6x:\) \(0 < 2.\) Это верно.

5) Раскроем левую часть: \((y + 5)(y — 2) = y^2 — 2y + 5y — 10 = y^2 + 3y — 10.\) Правая часть: \(3y — 10.\) Сравним: \(y^2 + 3y — 10 \geq 3y — 10.\) Вычтем \(3y — 10:\) \(y^2 \geq 0.\) Квадрат любого числа неотрицателен.

6) Раскроем правую часть: \((3m — 1)^2 = 9m^2 — 6m + 1.\) Левая часть: \(8m^2 — 6m + 1.\) Сравним: \(8m^2 — 6m + 1 \leq 9m^2 — 6m + 1.\) Вычтем \(-6m + 1:\) \(8m^2 \leq 9m^2.\) Вычтем \(8m^2:\) \(0 \leq m^2.\) Это верно.

7) Раскроем левую часть: \(a(a — 2) = a^2 — 2a.\) Запишем неравенство: \(a^2 — 2a \geq -1.\) Перенесём \(-1\) в левую часть: \(a^2 — 2a + 1 \geq 0.\) Это квадрат: \((a — 1)^2 \geq 0.\) Квадрат любого числа неотрицателен.

8) Раскроем левую часть: \((b + 7)^2 = b^2 + 14b + 49.\) Правая часть: \(14b + 40.\) Сравним: \(b^2 + 14b + 49 > 14b + 40.\) Вычтем \(14b + 40:\) \(b^2 + 9 > 0.\) Квадрат \(b^2\) неотрицателен, значит сумма больше нуля.