ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 80 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что сумма двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника меньше суммы его диагоналей.

В треугольнике \(AOB\): \(AB < AO + BO\);
В треугольнике \(COD\): \(CD < CO + OD\);
Сложим: \(AB + CD < AO + BO + CO + OD\).

В треугольнике \(BOC\): \(BC < BO + OC\);
В треугольнике \(AOD\): \(AD < AO + OD\);
Сложим: \(BC + AD < BO + OC + AO + OD\).

Так как \(AO + CO = AC\) и \(BO + OD = BD\), то
\(AB + CD < AC + BD\) и \(BC + AD < AC + BD\).

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим выпуклый четырёхугольник \(ABCD\) и точку \(O\), где пересекаются диагонали \(AC\) и \(BD\).

В треугольнике \(AOB\) по неравенству треугольника имеем \(AB < AO + BO\).

В треугольнике \(COD\) по неравенству треугольника \(CD < CO + OD\).

Сложим эти два неравенства, получим \(AB + CD < AO + BO + CO + OD\).

Теперь рассмотрим треугольник \(BOC\). По неравенству треугольника \(BC < BO + OC\).

В треугольнике \(AOD\) по неравенству треугольника \(AD < AO + OD\).

Сложим эти неравенства: \(BC + AD < BO + OC + AO + OD\).

Обратим внимание, что \(AO + CO = AC\) — это длина диагонали \(AC\), а \(BO + OD = BD\) — длина диагонали \(BD\).

Подставим в полученные неравенства: \(AB + CD < AC + BD\) и \(BC + AD < AC + BD\).

Таким образом, доказано, что сумма длин противоположных сторон выпуклого четырёхугольника меньше суммы диагоналей.