ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 800 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сумма первых шести членов арифметической прогрессии равна 39, а сумма первых четырнадцати членов равна -77. Найдите первый член и разность прогрессии.

Для арифметической прогрессии сумма первых \(n\) членов вычисляется по формуле \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)\). Дано: \(S_6 = 39\) и \(S_{14} = -77\). Составим уравнения:

1. Для \(n = 6\): \(\frac{6}{2} \cdot (2a_1 + 5d) = 39\), что упрощается до \(2a_1 + 5d = 13\).
2. Для \(n = 14\): \(\frac{14}{2} \cdot (2a_1 + 13d) = -77\), что упрощается до \(2a_1 + 13d = -11\).

Решаем систему уравнений. Из первого уравнения: \(2a_1 = 13 — 5d\). Подставим во второе: \(13 — 5d + 13d = -11\), откуда \(8d = -24\), \(d = -3\). Тогда \(2a_1 = 13 — 5(-3) = 13 + 15 = 28\), \(a_1 = 14\).

Ответ: \(a_1 = 14\), \(d = -3\).

Для решения задачи об арифметической прогрессии, где сумма первых шести членов равна 39, а сумма первых четырнадцати членов равна -77, необходимо найти первый член \(a_1\) и разность \(d\). Решение будет проведено пошагово с использованием формулы суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии, которая выглядит как \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)\).

Сначала запишем уравнение для суммы первых шести членов. Дано, что \(S_6 = 39\). Подставим \(n = 6\) в формулу: \(S_6 = \frac{6}{2} \cdot (2a_1 + (6-1)d) = 3 \cdot (2a_1 + 5d) = 39\). Упростим это уравнение, разделив обе части на 3: \(2a_1 + 5d = 13\). Это будет наше первое уравнение.

Далее запишем уравнение для суммы первых четырнадцати членов. Дано, что \(S_{14} = -77\). Подставим \(n = 14\) в формулу: \(S_{14} = \frac{14}{2} \cdot (2a_1 + (14-1)d) = 7 \cdot (2a_1 + 13d) = -77\). Упростим это уравнение, разделив обе части на 7: \(2a_1 + 13d = -11\). Это будет наше второе уравнение.

Теперь у нас есть система из двух уравнений: \(2a_1 + 5d = 13\) и \(2a_1 + 13d = -11\). Чтобы решить эту систему, выразим \(2a_1\) из первого уравнения: \(2a_1 = 13 — 5d\). Подставим это выражение во второе уравнение: \(13 — 5d + 13d = -11\). Упростим: \(13 + 8d = -11\). Вычтем 13 из обеих частей: \(8d = -11 — 13\), то есть \(8d = -24\). Разделим обе части на 8: \(d = -3\).

Теперь, зная разность \(d = -3\), подставим её значение в выражение для \(2a_1\): \(2a_1 = 13 — 5 \cdot (-3) = 13 + 15 = 28\). Разделим обе части на 2: \(a_1 = 14\).

Проверим правильность решения. Для \(n = 6\): \(S_6 = \frac{6}{2} \cdot (2 \cdot 14 + 5 \cdot (-3)) = 3 \cdot (28 — 15) = 3 \cdot 13 = 39\), что совпадает с условием. Для \(n = 14\): \(S_{14} = \frac{14}{2} \cdot (2 \cdot 14 + 13 \cdot (-3)) = 7 \cdot (28 — 39) = 7 \cdot (-11) = -77\), что также совпадает с условием.

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен \(a_1 = 14\), а разность равна \(d = -3\). Ответ полностью соответствует примеру из условия.

В заключение, мы получили значения, которые удовлетворяют оба условия задачи. Это подтверждает корректность наших вычислений.

Ответ: \(a_1 = 14\), \(d = -3\).