ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 802 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Разность арифметической прогрессии равна 28, а сумма пяти первых членов в 4 раза меньше суммы следующих шести членов. Чему равен первый член прогрессии?

Первый член арифметической прогрессии равен 10.

Краткое решение: дана разность \(d = 28\), а также условие \(S_{11} — S_5 = 4 \cdot S_5\), что эквивалентно \(S_{11} = 5 \cdot S_5\). Используем формулы сумм членов арифметической прогрессии: \(S_5 = \frac{5}{2} \cdot (2a_1 + 4d)\) и \(S_{11} = \frac{11}{2} \cdot (2a_1 + 10d)\). Подставляем в уравнение \( \frac{11}{2} \cdot (2a_1 + 10d) = 5 \cdot \frac{5}{2} \cdot (2a_1 + 4d) \), упрощаем до \(11(a_1 + 5d) = 25(a_1 + 2d)\), затем \(11a_1 + 55d = 25a_1 + 50d\), откуда \(14a_1 = 5d\). С учетом \(d = 28\), получаем \(14a_1 = 140\), следовательно, \(a_1 = 10\).

1. У нас есть арифметическая прогрессия, для которой известна разность \(d = 28\). Также дано условие, что сумма первых пяти членов прогрессии в 4 раза меньше суммы следующих шести членов, то есть \(S_{11} — S_5 = 4 \cdot S_5\). Наша цель — найти первый член прогрессии \(a_1\).

2. Преобразуем данное условие. Из уравнения \(S_{11} — S_5 = 4 \cdot S_5\) следует, что \(S_{11} = S_5 + 4 \cdot S_5 = 5 \cdot S_5\). Это соотношение между суммами членов прогрессии мы будем использовать для дальнейших вычислений.

3. Вспомним формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)\). Для \(S_5\) это будет \(S_5 = \frac{5}{2} \cdot (2a_1 + 4d)\), а для \(S_{11}\) — \(S_{11} = \frac{11}{2} \cdot (2a_1 + 10d)\). Эти формулы позволяют выразить суммы через первый член \(a_1\) и разность \(d\).

4. Подставим выражения для \(S_5\) и \(S_{11}\) в уравнение \(S_{11} = 5 \cdot S_5\): \(\frac{11}{2} \cdot (2a_1 + 10d) = 5 \cdot \frac{5}{2} \cdot (2a_1 + 4d)\). Упростим это уравнение, умножив обе части на 2, чтобы избавиться от дробей: \(11 \cdot (2a_1 + 10d) = 25 \cdot (2a_1 + 4d)\).

5. Раскроем скобки: слева получаем \(22a_1 + 110d\), справа — \(50a_1 + 100d\). Таким образом, уравнение принимает вид \(22a_1 + 110d = 50a_1 + 100d\). Теперь перенесем все слагаемые с \(a_1\) в одну сторону, а с \(d\) — в другую.

6. Вычтем из обеих сторон \(22a_1\) и \(100d\): \(110d — 100d = 50a_1 — 22a_1\), что дает \(10d = 28a_1\). Подставим значение \(d = 28\): \(10 \cdot 28 = 28a_1\), откуда \(280 = 28a_1\).

7. Разделим обе части на 28: \(a_1 = \frac{280}{28} = 10\). Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен 10.

8. Проверим правильность решения. Вычислим \(S_5\): \(S_5 = \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot 10 + 4 \cdot 28) = \frac{5}{2} \cdot (20 + 112) = \frac{5}{2} \cdot 132 = 5 \cdot 66 = 330\). Теперь \(S_{11}\): \(S_{11} = \frac{11}{2} \cdot (2 \cdot 10 + 10 \cdot 28) = \frac{11}{2} \cdot (20 + 280) = \frac{11}{2} \cdot 300 = 11 \cdot 150 = 1650\).

9. Проверим условие \(S_{11} = 5 \cdot S_5\): \(5 \cdot 330 = 1650\), что совпадает с вычисленным значением \(S_{11}\). Также проверим исходное условие \(S_{11} — S_5 = 4 \cdot S_5\): \(1650 — 330 = 1320\), а \(4 \cdot 330 = 1320\). Условие выполняется.

10. Следовательно, первый член прогрессии равен 10. Ответ подтвержден расчетами и полностью совпадает с условием задачи.