ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 803 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Двенадцатый член арифметической прогрессии равен 30. Найдите сумму двадцати трёх первых членов прогрессии.

Сумма первых 23 членов арифметической прогрессии может быть найдена через формулу суммы, используя информацию о 12-м члене, который равен 30. Формула для \(n\)-го члена прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\), откуда для 12-го члена: \(a_{12} = a_1 + 11d = 30\). Сумма первых \(n\) членов: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\), или, учитывая \(a_{12}\), можно выразить сумму как \(S_{23} = 23 \cdot a_{12} = 23 \cdot 30 = 690\). Ответ: 690.

1. Двенадцатый член арифметической прогрессии равен 30, то есть \(a_{12} = 30\). Нам нужно найти сумму первых 23 членов этой прогрессии, обозначаемую как \(S_{23}\). Для решения задачи будем использовать основные формулы арифметической прогрессии.

2. Напомним, что \(n\)-ый член арифметической прогрессии выражается формулой \(a_n = a_1 + (n-1)d\), где \(a_1\) — первый член прогрессии, а \(d\) — разность прогрессии. Для 12-го члена это будет \(a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d\). По условию задачи, \(a_{12} = 30\), следовательно, \(a_1 + 11d = 30\).

3. Теперь рассмотрим формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\) или, альтернативно, \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)\). Для \(n = 23\) нам нужно найти \(S_{23}\), но у нас нет значений \(a_1\) и \(d\) по отдельности, только их комбинация через \(a_{12}\).

4. Выразим сумму \(S_{23}\) через известные данные. Заметим, что \(a_{12} = a_1 + 11d\), и если подставить это выражение в формулу суммы, то \(S_{23} = 23 \cdot (a_1 + 11d)\), так как \(a_1 + 11d = a_{12} = 30\). Таким образом, \(S_{23} = 23 \cdot 30\).

5. Выполним вычисление: \(23 \cdot 30 = 690\). Следовательно, сумма первых 23 членов арифметической прогрессии равна 690.

6. Проверим правильность подхода. Формула суммы \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)\) при \(n = 23\) дает \(S_{23} = \frac{23}{2} \cdot (2a_1 + 22d) = 23 \cdot (a_1 + 11d)\), что совпадает с нашим предыдущим выводом, так как \(a_1 + 11d = 30\).

7. Таким образом, мы убедились, что выражение \(S_{23} = 23 \cdot 30\) корректно и не требует дополнительных данных о \(a_1\) или \(d\), поскольку их комбинация уже известна из условия задачи.

8. Итак, результат вычисления суммы первых 23 членов прогрессии равен 690, что соответствует ответу из примера.

9. Для полноты отметим, что данный метод работает, потому что \(a_{12}\) находится ровно посередине между \(a_1\) и \(a_{23}\) в терминах разности \(d\), но это не обязательно для вычислений, так как мы опираемся на прямую формулу.

10. Ответ: 690.