ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 805 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите уравнение:
1) \(7 + 13 + 19 + \dots + (6n + 1) = 480\), где \(n\) — натуральное число;
2) \(5 + 8 + 11 + \dots + x = 124\), где \(x\) — натуральное число.

1) Сумма арифметической прогрессии с первым членом 7, разностью 6 и последним членом \((6n + 1)\) равна 480. Формула суммы: \(\frac{n}{2} \cdot (7 + (6n + 1)) = 480\), что упрощается до \(n(6n + 8) = 960\). Решаем уравнение \(6n^2 + 8n — 960 = 0\), делим на 2: \(3n^2 + 4n — 480 = 0\). Дискриминант \(D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 480 = 16 + 5760 = 5776\), корень \(D = 76\). Тогда \(n = \frac{-4 \pm 76}{6}\), откуда \(n_1 = — \frac{80}{6} \approx -13.33\) (не подходит, так как \(n\) натуральное), \(n_2 = \frac{72}{6} = 12\). Ответ: 12.

2) Сумма арифметической прогрессии с первым членом 5, разностью 3 и последним членом \(x = 3n + 2\) равна 124. Формула суммы: \(\frac{n}{2} \cdot (5 + (3n + 2)) = 124\), что упрощается до \(n(3n + 7) = 248\). Решаем уравнение \(3n^2 + 7n — 248 = 0\). Дискриминант \(D = 7^2 + 4 \cdot 3 \cdot 248 = 49 + 2976 = 3025\), корень \(D = 55\). Тогда \(n = \frac{-7 \pm 55}{6}\), откуда \(n_1 = — \frac{62}{6} \approx -10.33\) (не подходит), \(n_2 = \frac{48}{6} = 8\). Тогда \(x = 3 \cdot 8 + 2 = 26\). Ответ: 26.

1) Рассмотрим уравнение суммы арифметической прогрессии \(7 + 13 + 19 + \dots + (6n + 1) = 480\), где \(n\) — натуральное число, обозначающее количество членов последовательности. Наша цель — найти значение \(n\), при котором сумма равна 480.

Первый член прогрессии равен 7, а разность между соседними членами составляет 6. Последний член прогрессии задан как \((6n + 1)\). Формула суммы арифметической прогрессии имеет вид \(\frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\), где \(a_1\) — первый член, а \(a_n\) — последний член. Подставим значения: \(\frac{n}{2} \cdot (7 + (6n + 1)) = 480\).

Упростим выражение внутри скобок: \(7 + 6n + 1 = 6n + 8\). Тогда уравнение примет вид \(\frac{n}{2} \cdot (6n + 8) = 480\). Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби: \(n \cdot (6n + 8) = 960\).

Раскроем скобки: \(6n^2 + 8n = 960\). Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения: \(6n^2 + 8n — 960 = 0\). Для упрощения разделим все члены на 2: \(3n^2 + 4n — 480 = 0\).

Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = -480\). Подставим: \(D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-480) = 16 + 5760 = 5776\). Теперь вычислим корень дискриминанта: \(\sqrt{D} = \sqrt{5776} = 76\).

Решаем квадратное уравнение по формуле \(n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставим значения: \(n = \frac{-4 \pm 76}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm 76}{6}\). Получаем два корня: \(n_1 = \frac{-4 — 76}{6} = \frac{-80}{6} \approx -13.33\) и \(n_2 = \frac{-4 + 76}{6} = \frac{72}{6} = 12\).

Поскольку \(n\) должно быть натуральным числом, значение \(n_1 \approx -13.33\) не подходит. Следовательно, \(n = 12\). Проверим: последний член при \(n = 12\) равен \(6 \cdot 12 + 1 = 73\), сумма прогрессии \(\frac{12}{2} \cdot (7 + 73) = 6 \cdot 80 = 480\), что совпадает с условием. Ответ: 12.

2) Теперь решим уравнение суммы арифметической прогрессии \(5 + 8 + 11 + \dots + x = 124\), где \(x\) — последний член последовательности, а наша цель — найти значение \(x\), являющееся натуральным числом.

Первый член прогрессии равен 5, разность между соседними членами составляет 3. Обозначим количество членов как \(n\), тогда последний член \(x\) можно выразить как \(x = 5 + (n-1) \cdot 3 = 3n + 2\). Формула суммы арифметической прогрессии: \(\frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = 124\). Подставим значения: \(\frac{n}{2} \cdot (5 + (3n + 2)) = 124\).

Упростим выражение внутри скобок: \(5 + 3n + 2 = 3n + 7\). Тогда уравнение принимает вид \(\frac{n}{2} \cdot (3n + 7) = 124\). Умножим обе части на 2: \(n \cdot (3n + 7) = 248\).

Раскроем скобки: \(3n^2 + 7n = 248\). Приведем уравнение к стандартному виду: \(3n^2 + 7n — 248 = 0\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 3\), \(b = 7\), \(c = -248\). Подставим: \(D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-248) = 49 + 2976 = 3025\). Корень дискриминанта: \(\sqrt{D} = \sqrt{3025} = 55\).

Решаем квадратное уравнение: \(n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 55}{2 \cdot 3} = \frac{-7 \pm 55}{6}\). Получаем два корня: \(n_1 = \frac{-7 — 55}{6} = \frac{-62}{6} \approx -10.33\) и \(n_2 = \frac{-7 + 55}{6} = \frac{48}{6} = 8\).

Поскольку \(n\) должно быть натуральным числом, значение \(n_1 \approx -10.33\) не подходит. Следовательно, \(n = 8\). Найдем \(x = 3n + 2 = 3 \cdot 8 + 2 = 24 + 2 = 26\). Проверим сумму: \(\frac{8}{2} \cdot (5 + 26) = 4 \cdot 31 = 124\), что совпадает с условием. Ответ: 26.