ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 806 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите уравнение:
1) \(11 + 19 + 27 + \dots + (8n + 3) = 470\), где \(n\) — натуральное число;
2) \(1 + 5 + 9 + \dots + x = 630\), где \(x\) — натуральное число.

1) Сумма арифметической прогрессии \(11 + 19 + 27 + \dots + (8n + 3) = 470\). Первый член \(a_1 = 11\), разность \(d = 8\), последний член \(a_n = 8n + 3\). Формула суммы: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} \cdot (11 + 8n + 3) = \frac{n}{2} \cdot (8n + 14) = n \cdot (4n + 7)\). Уравнение: \(n(4n + 7) = 470\). Приведем к квадратному уравнению: \(4n^2 + 7n — 470 = 0\). Дискриминант: \(D = 7^2 + 4 \cdot 4 \cdot 470 = 49 + 7520 = 7569\), корень \( \sqrt{D} = 87\). Решение: \(n = \frac{-7 \pm 87}{8}\), откуда \(n = \frac{80}{8} = 10\). Ответ: \(n = 10\).

2) Сумма арифметической прогрессии \(1 + 5 + 9 + \dots + x = 630\). Первый член \(a_1 = 1\), разность \(d = 4\), последний член \(x = 4n — 3\). Формула суммы: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} \cdot (1 + 4n — 3) = \frac{n}{2} \cdot (4n — 2) = n \cdot (2n — 1)\). Уравнение: \(n(2n — 1) = 630\). Приведем к квадратному уравнению: \(2n^2 — n — 630 = 0\). Дискриминант: \(D = (-1)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 630 = 1 + 5040 = 5041\), корень \( \sqrt{D} = 71\). Решение: \(n = \frac{1 \pm 71}{4}\), откуда \(n = \frac{72}{4} = 18\). Тогда \(x = 4 \cdot 18 — 3 = 72 — 3 = 69\). Ответ: \(x = 69\).

1) Рассмотрим уравнение \(11 + 19 + 27 + \dots + (8n + 3) = 470\), где \(n\) — натуральное число. Это арифметическая прогрессия, где первый член \(a_1 = 11\), а общий член последовательности задан как \(a_n = 8n + 3\). Разность прогрессии \(d\) вычисляется как разность между соседними членами: \(d = 19 — 11 = 8\), что совпадает с коэффициентом при \(n\) в выражении \(8n + 3\).

Следующим шагом определим количество членов прогрессии \(n\). Формула суммы арифметической прогрессии имеет вид \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\). Подставим известные значения: \(a_1 = 11\), \(a_n = 8n + 3\), тогда \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (11 + 8n + 3) = \frac{n}{2} \cdot (8n + 14) = n \cdot \frac{8n + 14}{2} = n \cdot (4n + 7)\). Согласно условию, сумма равна 470, поэтому составим уравнение: \(n \cdot (4n + 7) = 470\).

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения: \(4n^2 + 7n — 470 = 0\). Для решения используем формулу дискриминанта \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 4\), \(b = 7\), \(c = -470\). Вычислим: \(D = 7^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-470) = 49 + 7520 = 7569\). Теперь найдем корень дискриминанта: \(\sqrt{7569} = 87\), так как \(87^2 = 7569\).

Решим уравнение по формуле \(n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(n = \frac{-7 \pm 87}{2 \cdot 4} = \frac{-7 \pm 87}{8}\). Рассмотрим два случая: \(n_1 = \frac{-7 + 87}{8} = \frac{80}{8} = 10\), и \(n_2 = \frac{-7 — 87}{8} = \frac{-94}{8} = -11.75\). Поскольку \(n\) должно быть натуральным числом, принимаем \(n = 10\).

Проверим решение. Последний член прогрессии при \(n = 10\): \(a_{10} = 8 \cdot 10 + 3 = 80 + 3 = 83\). Сумма: \(S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (11 + 83) = 5 \cdot 94 = 470\), что совпадает с условием. Ответ: \(n = 10\).

2) Рассмотрим уравнение \(1 + 5 + 9 + \dots + x = 630\), где \(x\) — натуральное число, являющееся последним членом арифметической прогрессии. Первый член \(a_1 = 1\), разность прогрессии \(d = 5 — 1 = 4\). Общий член прогрессии можно записать как \(a_n = 1 + (n-1) \cdot 4 = 4n — 3\), следовательно, \(x = 4n — 3\).

Формула суммы арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} \cdot (1 + 4n — 3) = \frac{n}{2} \cdot (4n — 2) = n \cdot (2n — 1)\). По условию сумма равна 630, поэтому уравнение: \(n \cdot (2n — 1) = 630\).

Приведем к квадратному уравнению: \(2n^2 — n — 630 = 0\). Найдем дискриминант \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -630\). Вычислим: \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-630) = 1 + 5040 = 5041\). Корень дискриминанта: \(\sqrt{5041} = 71\), так как \(71^2 = 5041\).

Решим уравнение: \(n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 71}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 71}{4}\). Первый корень: \(n_1 = \frac{1 + 71}{4} = \frac{72}{4} = 18\), второй корень: \(n_2 = \frac{1 — 71}{4} = \frac{-70}{4} = -17.5\). Поскольку \(n\) должно быть натуральным числом, принимаем \(n = 18\).

Теперь найдем \(x = 4n — 3 = 4 \cdot 18 — 3 = 72 — 3 = 69\). Проверим сумму: \(S_{18} = \frac{18}{2} \cdot (1 + 69) = 9 \cdot 70 = 630\), что совпадает с условием. Ответ: \(x = 69\).