ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 807 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, у которой среднее арифметическое \(n\) первых членов при любом \(n\) равно их количеству.

Для арифметической прогрессии среднее арифметическое \(n\) первых членов равно \(\frac{S_n}{n}\), где \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n-1))\). По условию, \(\frac{S_n}{n} = n\), значит \(S_n = n^2\). Подставим \(S_n\): \(\frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n-1)) = n^2\). Упростим: \(2a_1 + d(n-1) = 2n\). Раскроем: \(2a_1 + dn — d = 2n\). Соберем члены с \(n\): \(dn — 2n = 2a_1 — d\). Выразим: \(n(d — 2) = 2a_1 — d\). Это должно выполняться для любого \(n\), значит коэффициенты при \(n\) и свободный член равны: \(d — 2 = 0\) и \(2a_1 — d = 0\). Отсюда \(d = 2\), \(2a_1 — 2 = 0\), то есть \(a_1 = 1\).

Ответ: \(a_1 = 1\), \(d = 2\).

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию, для которой среднее арифметическое первых \(n\) членов при любом \(n\) равно их количеству, то есть равно \(n\). Наша цель — найти первый член прогрессии \(a_1\) и разность \(d\).

2. Среднее арифметическое первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется как отношение суммы первых \(n\) членов \(S_n\) к их количеству \(n\), то есть \(\frac{S_n}{n}\). По условию задачи, это среднее равно \(n\), следовательно, \(\frac{S_n}{n} = n\). Умножим обе части на \(n\), чтобы избавиться от дроби: \(S_n = n^2\).

3. Теперь вспомним формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n-1))\). Подставим это выражение в наше уравнение \(S_n = n^2\): \(\frac{n}{2} \cdot (2a_1 + d(n-1)) = n^2\).

4. Чтобы упростить уравнение, умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби: \(n \cdot (2a_1 + d(n-1)) = 2n^2\). Раскроем скобки в левой части: \(2a_1 \cdot n + d \cdot n \cdot (n-1) = 2n^2\). Это можно записать как \(2a_1 n + d n^2 — d n = 2n^2\).

5. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы привести уравнение к виду, удобному для анализа: \(d n^2 + 2a_1 n — d n — 2n^2 = 0\). Сгруппируем подобные члены: \(d n^2 — 2n^2 + 2a_1 n — d n = 0\), что эквивалентно \((d — 2)n^2 + (2a_1 — d)n = 0\).

6. Поскольку это уравнение должно выполняться для любого значения \(n\), коэффициенты при степенях \(n\) должны быть равны нулю. Таким образом, мы получаем систему уравнений: первое уравнение для коэффициента при \(n^2\): \(d — 2 = 0\), и второе уравнение для коэффициента при \(n\): \(2a_1 — d = 0\).

7. Решаем первое уравнение: \(d — 2 = 0\), откуда следует, что \(d = 2\). Подставляем это значение во второе уравнение: \(2a_1 — d = 0\), то есть \(2a_1 — 2 = 0\), откуда \(2a_1 = 2\), а значит \(a_1 = 1\).

8. Таким образом, мы нашли значения первого члена и разности арифметической прогрессии: \(a_1 = 1\) и \(d = 2\). Проверим, удовлетворяют ли эти значения условию задачи.

9. Вычислим сумму первых \(n\) членов с найденными значениями: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot 1 + 2(n-1)) = \frac{n}{2} \cdot (2 + 2n — 2) = \frac{n}{2} \cdot 2n = n^2\). Среднее арифметическое: \(\frac{S_n}{n} = \frac{n^2}{n} = n\), что совпадает с условием задачи.

10. Следовательно, найденные значения \(a_1 = 1\) и \(d = 2\) являются правильными. Ответ: \(a_1 = 1\), \(d = 2\).