Учебник «Алгебра, 9 класс» под авторством Мерзляка, Полонского и Якира — это незаменимое пособие для учащихся средней школы, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Он отличается высоким качеством содержания и тщательно продуманной методической структурой, что делает процесс изучения математики более доступным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 809 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что если сумма \(n\) первых членов последовательности вычисляется по формуле \(S_n = n^2 — 3n\), то эта последовательность является арифметической прогрессией. Найдите первый член и разность этой прогрессии.
Для доказательства того, что последовательность является арифметической прогрессией, если сумма первых \(n\) членов задаётся формулой \(S_n = n^2 — 3n\), найдём общий член последовательности и проверим условие арифметической прогрессии. Общий член \(a_n = S_n — S_{n-1}\). Подставим: \(S_{n-1} = (n-1)^2 — 3(n-1) = n^2 — 2n + 1 — 3n + 3 = n^2 — 5n + 4\). Тогда \(a_n = (n^2 — 3n) — (n^2 — 5n + 4) = 2n — 4\). Первый член \(a_1 = 2 \cdot 1 — 4 = -2\). Разность \(d = a_{n+1} — a_n = (2(n+1) — 4) — (2n — 4) = 2\). Поскольку разность постоянна, последовательность является арифметической прогрессией с первым членом \(a_1 = -2\) и разностью \(d = 2\).
Для доказательства того, что последовательность является арифметической прогрессией, если сумма первых \(n\) членов задаётся формулой \(S_n = n^2 — 3n\), а также для нахождения первого члена и разности этой прогрессии, рассмотрим задачу пошагово.
1) Сначала найдём формулу для \(n\)-го члена последовательности. Сумма первых \(n\) членов последовательности задаётся как \(S_n = n^2 — 3n\). Сумма первых \(n-1\) членов будет \(S_{n-1} = (n-1)^2 — 3(n-1)\). Раскроем выражение для \(S_{n-1}\): \((n-1)^2 = n^2 — 2n + 1\), а \(-3(n-1) = -3n + 3\). Таким образом, \(S_{n-1} = n^2 — 2n + 1 — 3n + 3 = n^2 — 5n + 4\). Теперь \(n\)-ый член последовательности находится как разность между \(S_n\) и \(S_{n-1}\), то есть \(a_n = S_n — S_{n-1} = (n^2 — 3n) — (n^2 — 5n + 4) = n^2 — 3n — n^2 + 5n — 4 =\)
\(= 2n — 4\). Итак, формула для \(n\)-го члена: \(a_n = 2n — 4\).
2) Найдём первый член и разность прогрессии. Первый член последовательности получается при \(n=1\): \(a_1 = 2 \cdot 1 — 4 = 2 — 4 = -2\). Второй член при \(n=2\): \(a_2 = 2 \cdot 2 — 4 = 4 — 4 = 0\). Разность арифметической прогрессии определяется как разность между соседними членами: \(d = a_2 — a_1 = 0 — (-2) = 2\). Чтобы подтвердить, что последовательность является арифметической прогрессией, проверим разность для произвольного \(n\): \(a_{n+1} = 2(n+1) — 4 = 2n + 2 — 4 = 2n — 2\), тогда \(d = a_{n+1} — a_n = (2n — 2) — (2n — 4) = 2n — 2 — 2n + 4 = 2\). Разность постоянна и равна \(2\), что подтверждает, что последовательность является арифметической прогрессией.
Итак, ответ: первый член \(a_1 = -2\), разность \(d = 2\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.