ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 81 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите утверждение: 1) если a < b < 0, то \(a^2 > b^2\); 2) если a > 0, b > 0 и \(a^2 > b^2\), то a > b.

1) Если \(a < b < 0\), то \(a^2 > b^2\):
\(a — b < 0\), \(a + b < 0\);
\((a — b)(a + b) > 0\);
\(a^2 — b^2 > 0\), значит \(a^2 > b^2\);
Неравенство доказано.

2) Если \(a > 0\), \(b > 0\) и \(a^2 > b^2\), то \(a > b\):
\(a^2 — b^2 > 0\), значит \((a — b)(a + b) > 0\);
\(a + b > 0\), значит \(a — b > 0\), то есть \(a > b\);
Неравенство доказано.

Если \(a < b < 0\), то сначала заметим, что \(a\) и \(b\) — отрицательные числа, и \(a\) меньше \(b\). Значит, разность \(a — b\) меньше нуля, то есть \(a — b < 0\).

Также сложим \(a\) и \(b\). Поскольку оба отрицательные, их сумма тоже отрицательна: \(a + b < 0\).

Теперь рассмотрим произведение \((a — b)(a + b)\). Так как оба множителя отрицательны, произведение положительно: \((a — b)(a + b) > 0\).

Раскроем скобки: \(a^2 — b^2 > 0\). Значит, \(a^2 > b^2\), что и требовалось доказать.

—

Если \(a > 0\), \(b > 0\) и \(a^2 > b^2\), то из неравенства \(a^2 > b^2\) следует, что \(a^2 — b^2 > 0\).

Разложим разность квадратов: \((a — b)(a + b) > 0\).

Поскольку \(a > 0\) и \(b > 0\), сумма \(a + b\) положительна: \(a + b > 0\).

Для произведения быть положительным при \(a + b > 0\), необходимо, чтобы \(a — b > 0\), то есть \(a > b\).

Таким образом, доказано, что если \(a > 0\), \(b > 0\) и \(a^2 > b^2\), то \(a > b\).