ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 810 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму всех двузначных чисел, которые не делятся нацело ни на 3, ни на 5.

Сумма всех двузначных чисел, не кратных 3 и 5, равна 2610.

Краткое решение:
1. Сумма всех двузначных чисел (от 10 до 99): \( S_{90} = \frac{90}{2} \cdot (10 + 99) = 45 \cdot 109 = 4905 \).
2. Сумма двузначных чисел, кратных 3: \( S_{30} = \frac{30}{2} \cdot (12 + 99) = 15 \cdot 111 = 1665 \).
3. Сумма двузначных чисел, кратных 5: \( S_{18} = \frac{18}{2} \cdot (10 + 95) = 9 \cdot 105 = 945 \).
4. Сумма двузначных чисел, кратных 15 (учитываем пересечение): \( S_{6} = \frac{6}{2} \cdot (15 + 90) = 3 \cdot 105 = 315 \).
5. Итоговая сумма: \( N = S_{90} — S_{30} — S_{18} + S_{6} = 4905 — 1665 — 945 + 315 = 2610 \).

Для нахождения суммы всех двузначных чисел, не кратных ни 3, ни 5, используем метод вычитания из общей суммы двузначных чисел тех, которые кратны 3 или 5, с учетом пересечений (чисел, кратных одновременно 3 и 5). Рассмотрим каждый шаг подробно.

1. Сначала найдем сумму всех двузначных чисел от 10 до 99. Это арифметическая прогрессия с первым членом \( a_1 = 10 \), последним членом \( a_n = 99 \) и разностью \( d = 1 \). Количество членов прогрессии: \( n = 99 — 10 + 1 = 90 \). Сумма прогрессии вычисляется по формуле \( S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \), подставляем значения: \( S_{90} = \frac{90}{2} \cdot (10 + 99) = 45 \cdot 109 = 4905 \).

2. Теперь найдем сумму двузначных чисел, кратных 3. Первое двузначное число, кратное 3, это 12, последнее — 99. Разность между членами прогрессии \( d = 3 \). Количество членов: \( n = \frac{99 — 12}{3} + 1 = 29 + 1 = 30 \). Сумма: \( S_{30} = \frac{30}{2} \cdot (12 + 99) = 15 \cdot 111 = 1665 \).

3. Далее найдем сумму двузначных чисел, кратных 5. Первое число — 10, последнее — 95, разность \( d = 5 \). Количество членов: \( n = \frac{95 — 10}{5} + 1 = 17 + 1 = 18 \). Сумма: \( S_{18} = \frac{18}{2} \cdot (10 + 95) = 9 \cdot 105 = 945 \).

4. Поскольку числа, кратные одновременно 3 и 5 (то есть кратные 15), были вычтены дважды (в шагах 2 и 3), их нужно добавить обратно. Первое двузначное число, кратное 15, это 15, последнее — 90, разность \( d = 15 \). Количество членов: \( n = \frac{90 — 15}{15} + 1 = 5 + 1 = 6 \). Сумма: \( S_{6} = \frac{6}{2} \cdot (15 + 90) = 3 \cdot 105 = 315 \).

5. Итоговая сумма двузначных чисел, не кратных ни 3, ни 5, находится по формуле: \( N = S_{90} — S_{30} — S_{18} + S_{6} \). Подставляем значения: \( N = 4905 — 1665 — 945 + 315 \). Сначала вычисляем \( 4905 — 1665 = 3240 \), затем \( 3240 — 945 = 2295 \), и, наконец, \( 2295 + 315 = 2610 \). Таким образом, искомая сумма равна 2610.