Учебник «Алгебра, 9 класс» под авторством Мерзляка, Полонского и Якира — это незаменимое пособие для учащихся средней школы, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Он отличается высоким качеством содержания и тщательно продуманной методической структурой, что делает процесс изучения математики более доступным и увлекательным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 811 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Постройте график функции:
1) \(y = x^2 — 4x + 4\);
2) \(y = 2x^2 + 8x + 8\).
Используя построенный график, найдите область значений, промежутки возрастания и убывания функции.
1) Для функции \(y = x^2 — 4x + 4\), которая преобразуется в \(y = (x-2)^2\):
— Вершина параболы в точке \((2, 0)\), так как это квадратичная функция, открытая вверх.
— Область значений: \(y \geq 0\).
— Промежуток возрастания: \([2, +\infty)\).
— Промежуток убывания: \((-\infty, 2]\).
2) Для функции \(y = 2x^2 + 8x + 8\), которая преобразуется в \(y = 2(x+2)^2\):
— Вершина параболы в точке \((-2, 0)\), так как это квадратичная функция, открытая вверх.
— Область значений: \(y \geq 0\).
— Промежуток возрастания: \([-2, +\infty)\).
— Промежуток убывания: \((-\infty, -2]\).
1) Рассмотрим функцию \(y = x^2 — 4x + 4\). Для начала преобразуем выражение, чтобы найти вершину параболы. Выделим полный квадрат: \(y = x^2 — 4x + 4 = (x-2)^2\). Таким образом, вершина параболы находится в точке \((2, 0)\), а поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола открыта вверх.
Теперь определим область значений функции. Так как \(y = (x-2)^2\), то минимальное значение \(y\) равно 0 при \(x = 2\), а максимального значения нет, так как \(y\) может быть сколь угодно большим при увеличении \(x\). Следовательно, область значений: \(y \geq 0\).
Далее найдем промежутки возрастания и убывания. Функция возрастает на промежутке, где производная положительна, и убывает, где производная отрицательна. Производная функции \(y = x^2 — 4x + 4\) равна \(y’ = 2x — 4\). Решаем уравнение \(2x — 4 = 0\), откуда \(x = 2\). Таким образом, функция убывает на промежутке \((-\infty, 2]\) (где \(y’ < 0\)) и возрастает на промежутке \([2, +\infty)\) (где \(y' > 0\)).
2) Рассмотрим функцию \(y = 2x^2 + 8x + 8\). Преобразуем выражение, выделив полный квадрат: \(y = 2(x^2 + 4x + 4) = 2(x+2)^2\). Вершина параболы находится в точке \((-2, 0)\), а поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола открыта вверх.
Определим область значений функции. Так как \(y = 2(x+2)^2\), то минимальное значение \(y\) равно 0 при \(x = -2\), а максимального значения нет, так как \(y\) увеличивается при удалении \(x\) от \(-2\). Следовательно, область значений: \(y \geq 0\).
Теперь найдем промежутки возрастания и убывания. Производная функции \(y = 2x^2 + 8x + 8\) равна \(y’ = 4x + 8\). Решаем уравнение \(4x + 8 = 0\), откуда \(x = -2\). Таким образом, функция убывает на промежутке \((-\infty, -2]\) (где \(y’ < 0\)) и возрастает на промежутке \([-2, +\infty)\) (где \(y' > 0\)).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.