ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 815 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Велосипедист за каждую минуту проезжает на 600 м меньше, чем мотоциклист, поэтому на дорогу в 120 км он тратит на 3 ч больше, чем мотоциклист. Найдите скорость велосипедиста.

Пусть скорость велосипедиста \(x\) км/ч, а мотоциклиста \(y\) км/ч. Из условия: \(y = x + 36\) (так как 600 м/мин = 36 км/ч). Время на 120 км для велосипедиста \(\frac{120}{x}\), для мотоциклиста \(\frac{120}{y}\), и разница во времени 3 часа: \(\frac{120}{x} — \frac{120}{y} = 3\). Подставим \(y = x + 36\): \(\frac{120}{x} — \frac{120}{x + 36} = 3\). Умножим на \(x(x + 36)\): \(120(x + 36) — 120x = 3x(x + 36)\), упростим: \(120x + 4320 — 120x = 3x^2 + 108x\), то есть \(3x^2 + 108x — 4320 = 0\). Делим на 3: \(x^2 + 36x — 1440 = 0\). Дискриминант \(D = 36^2 + 4 \cdot 1440 = 1296 + 5760 = 7056\), корень \(x = \frac{-36 + \sqrt{7056}}{2} = \frac{-36 + 84}{2} = 24\). Скорость велосипедиста 24 км/ч.

Ответ: 24 км/ч

1. Зададим переменные для решения задачи. Пусть скорость велосипедиста равна \(x\) км/ч, а скорость мотоциклиста равна \(y\) км/ч. Из условия известно, что велосипедист за каждую минуту проезжает на 600 метров меньше, чем мотоциклист. Переведем это в километры в час: 600 метров в минуту равно \(600 \cdot 60 = 36000\) метров в час, то есть \(36\) км/ч. Таким образом, скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста на \(36\) км/ч, и первое уравнение будет: \(y = x + 36\).

2. Теперь составим второе уравнение, основанное на времени, затраченном на путь в \(120\) км. Время, за которое велосипедист преодолевает этот путь, равно \(\frac{120}{x}\) часов, а время мотоциклиста — \(\frac{120}{y}\) часов. По условию, велосипедист тратит на \(3\) часа больше, чем мотоциклист, поэтому уравнение принимает вид: \(\frac{120}{x} — \frac{120}{y} = 3\).

3. Подставим значение \(y = x + 36\) из первого уравнения во второе: \(\frac{120}{x} — \frac{120}{x + 36} = 3\). Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на \(x \cdot (x + 36)\): \(120 \cdot (x + 36) — 120 \cdot x = 3 \cdot x \cdot (x + 36)\).

4. Раскроем скобки и упростим выражение. Слева получаем: \(120x + 4320 — 120x = 4320\). Справа: \(3x^2 + 108x\). Таким образом, уравнение становится: \(4320 = 3x^2 + 108x\). Перенесем все члены в одну сторону: \(3x^2 + 108x — 4320 = 0\).

5. Упростим уравнение, разделив все члены на \(3\): \(x^2 + 36x — 1440 = 0\). Это квадратное уравнение, которое будем решать через дискриминант. Формула дискриминанта: \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 36\), \(c = -1440\). Подставляем: \(D = 36^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1440) = 1296 + 5760 = 7056\).

6. Найдем корень дискриминанта: \(\sqrt{D} = \sqrt{7056} = 84\). Теперь решим уравнение по формуле корней квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставляем значения: \(x = \frac{-36 \pm 84}{2 \cdot 1}\).

7. Рассчитаем два возможных значения \(x\). Первое: \(x_1 = \frac{-36 + 84}{2} = \frac{48}{2} = 24\). Второе: \(x_2 = \frac{-36 — 84}{2} = \frac{-120}{2} = -60\). Поскольку скорость не может быть отрицательной, отбрасываем \(x_2 = -60\).

8. Таким образом, скорость велосипедиста равна \(x = 24\) км/ч. Проверим это значение. Скорость мотоциклиста: \(y = x + 36 = 24 + 36 = 60\) км/ч. Время велосипедиста на \(120\) км: \(\frac{120}{24} = 5\) часов. Время мотоциклиста: \(\frac{120}{60} = 2\) часа. Разница во времени: \(5 — 2 = 3\) часа, что соответствует условию задачи.

9. Дополнительно убедимся, что разница в скорости соответствует условию про \(600\) метров в минуту. Разница скоростей: \(60 — 24 = 36\) км/ч. Переведем в метры в минуту: \(36 \cdot \frac{1000}{60} = 600\) метров в минуту, что также совпадает с условием.

10. Итак, скорость велосипедиста составляет \(24\) км/ч. Это значение полностью удовлетворяет всем условиям задачи и совпадает с ответом из примера.

Ответ: \(24\) км/ч