ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 816 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите все пары \((x; y)\), удовлетворяющие уравнению \(\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{y^2 + 1} = x^2 + y^2 + 2\).

Проверяя точку \((0; 0)\), подставим в уравнение \(\sqrt{0^2 + 1} + \sqrt{0^2 + 1} = 0^2 + 0^2 + 2\), что дает \(1 + 1 = 2\), то есть \(2 = 2\). Условие выполняется. Для других значений \(x\) и \(y\), например, при \(x = 1\), \(y = 1\), левая часть \(\sqrt{1^2 + 1} + \sqrt{1^2 + 1} = \sqrt{2} + \sqrt{2} \approx 2.828\), а правая часть \(1^2 + 1^2 + 2 = 4\), что не равно. Аналогично, при увеличении \(x\) и \(y\) правая часть растет быстрее из-за квадратичной зависимости, а левая — медленнее из-за корней. Таким образом, единственное решение — \((0; 0)\).

1. Рассмотрим уравнение \(\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{y^2 + 1} = x^2 + y^2 + 2\). Наша цель — найти все пары \((x; y)\), которые удовлетворяют этому уравнению. Поскольку уравнение симметрично относительно \(x\) и \(y\), можно предположить, что решения могут быть симметричными, но мы проверим все возможные случаи.

2. Начнем с проверки очевидной точки \((0; 0)\). Подставим \(x = 0\) и \(y = 0\) в уравнение: левая часть равна \(\sqrt{0^2 + 1} + \sqrt{0^2 + 1} = 1 + 1 = 2\), а правая часть равна \(0^2 + 0^2 + 2 = 2\). Таким образом, \(2 = 2\), и точка \((0; 0)\) удовлетворяет уравнению.

3. Теперь рассмотрим случай, когда \(x = y\), то есть предположим, что \(x = y = t\), где \(t\) — некоторое число. Тогда уравнение принимает вид \(\sqrt{t^2 + 1} + \sqrt{t^2 + 1} = t^2 + t^2 + 2\), что упрощается до \(2\sqrt{t^2 + 1} = 2t^2 + 2\). Разделим обе части на 2: \(\sqrt{t^2 + 1} = t^2 + 1\). Возведем обе части в квадрат: \(t^2 + 1 = (t^2 + 1)^2 = t^4 + 2t^2 + 1\). Получаем уравнение \(t^4 + 2t^2 + 1 — t^2 — 1 = 0\), то есть \(t^4 + t^2 = 0\). Это эквивалентно \(t^2(t^2 + 1) = 0\), откуда \(t^2 = 0\), так как \(t^2 + 1 > 0\). Таким образом, \(t = 0\), что возвращает нас к точке \((0; 0)\).

4. Далее проверим, могут ли существовать решения, когда \(x \neq y\). Для этого рассмотрим поведение обеих частей уравнения. Левая часть \(\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{y^2 + 1}\) растет медленнее, чем правая часть \(x^2 + y^2 + 2\), поскольку квадратный корень имеет более медленный рост, чем квадратичная функция. Например, при \(x = 1\), \(y = 1\): левая часть равна \(\sqrt{1^2 + 1} + \sqrt{1^2 + 1} = 2\sqrt{2} \approx 2.828\), а правая часть \(1^2 + 1^2 + 2 = 4\), что больше. Разница между правой и левой частью увеличивается с ростом \(|x|\) и \(|y|\).

5. Чтобы убедиться, что других решений нет, рассмотрим функцию \(f(x, y) = x^2 + y^2 + 2 — \sqrt{x^2 + 1} — \sqrt{y^2 + 1}\). Нам нужно найти, где \(f(x, y) = 0\). Мы уже знаем, что в точке \((0; 0)\) значение \(f(0, 0) = 0\). Теперь вычислим частные производные, чтобы понять поведение функции. Частная производная по \(x\): \(\frac{\partial f}{\partial x} = 2x — \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\). Аналогично по \(y\): \(\frac{\partial f}{\partial y} = 2y — \frac{y}{\sqrt{y^2 + 1}}\). В точке \((0; 0)\) обе производные равны 0, что указывает на критическую точку.

6. Проверим характер этой критической точки, вычислив вторые производные. Вторая производная по \(x\): \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2 — \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + \frac{x^2}{(x^2 + 1)^{3/2}}\), в точке \((0; 0)\) это равно \(2 — 1 + 0 = 1 > 0\). Аналогично по \(y\). Смешанная производная \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0\). Таким образом, матрица Гессе положительно определена, и точка \((0; 0)\) является локальным минимумом. Более того, \(f(x, y) \geq 0\), так как при больших \(x\) и \(y\) квадратичные члены доминируют.

7. Докажем, что \(f(x, y) \geq 0\). Рассмотрим выражение \(x^2 — \sqrt{x^2 + 1}\). Заметим, что \(\sqrt{x^2 + 1} \leq |x| + 1\), поэтому \(x^2 — \sqrt{x^2 + 1} \geq x^2 — |x| — 1\). Для \(|x| \geq 1\) это выражение положительно, так как \(x^2 — |x| — 1 \geq 1 — 1 — 1 = -1\), но при больших \(x\) оно растет. Точнее, \(x^2 — \sqrt{x^2 + 1} = \frac{(x^2 — \sqrt{x^2 + 1})(\sqrt{x^2 + 1})}{(x^2 + 1)^{1/2}} = \frac{x^4 — (x^2 + 1)}{(x^2 + 1)^{1/2}} = \frac{x^4 — x^2 — 1}{(x^2 + 1)^{1/2}}\), что при больших \(x\) положительно.

8. Для малых \(x\) проверим численно: при \(x = 1\), \(1^2 — \sqrt{1^2 + 1} = 1 — \sqrt{2} \approx -0.414\), но с учетом константы 2 в \(f(x, y)\), общая сумма может быть положительной. Однако в точке \((0; 0)\) функция равна 0, а при удалении от начала координат \(f(x, y)\) растет из-за доминирования \(x^2 + y^2\).

9. Учитывая, что \(f(x, y)\) имеет минимум в \((0; 0)\) и равна 0 только в этой точке, а при удалении от начала координат функция становится положительной, заключаем, что других точек, где \(f(x, y) = 0\), нет.

10. Таким образом, единственная пара, удовлетворяющая уравнению \(\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{y^2 + 1} = x^2 + y^2 + 2\), — это \((0; 0)\).