ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 82 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если \(\frac{1}{a} > \frac{1}{b} > 0\), то a < b.

Дано: \( \frac{1}{a} > \frac{1}{b} > 0 \)

Умножим обе части неравенства на \( ab \), так как \( a > 0 \) и \( b > 0 \), знак неравенства не изменится:

\( ab \cdot \frac{1}{a} > ab \cdot \frac{1}{b} \)

Получаем:

\( b > a \)

Значит, \( a < b \).

Неравенство доказано.

Дано неравенство \( \frac{1}{a} > \frac{1}{b} > 0 \). Это означает, что обе дроби положительны, то есть числители и знаменатели положительны, а также что первая дробь больше второй. Рассмотрим подробнее, что из этого следует. Во-первых, из условия \( \frac{1}{b} > 0 \) напрямую вытекает, что знаменатель \( b \) должен быть положительным числом, иначе дробь была бы отрицательной или неопределённой. Следовательно, \( b > 0 \). Аналогично, из \( \frac{1}{a} > 0 \) следует, что \( a > 0 \).

Теперь, зная, что \( a > 0 \) и \( b > 0 \), можно безопасно умножить обе части неравенства \( \frac{1}{a} > \frac{1}{b} \) на произведение \( ab \), не меняя знак неравенства. Это возможно, потому что при умножении на положительное число знак неравенства сохраняется. Запишем это действие: \( ab \cdot \frac{1}{a} > ab \cdot \frac{1}{b} \). При этом в левой части сокращается \( a \), а в правой — \( b \).

После сокращения получаем \( b > a \). Из этого неравенства видно, что \( a \) меньше \( b \), то есть \( a < b \). Таким образом, исходное неравенство \( \frac{1}{a} > \frac{1}{b} > 0 \) эквивалентно неравенству \( a < b \) при условии, что \( a > 0 \) и \( b > 0 \). Этот вывод логически завершает доказательство, показывая взаимосвязь между величинами \( a \) и \( b \) на основе их обратных значений.