ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 83 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Известно, что b > 0 и a > b. Является ли верным при всех указанных значениях a и b неравенство: 1) \(a^2 + a > b^2 + b\); 2) \(a^2 — a > b^2 — b\); 3) \(2 — a^a < 2 — b^b\); 4) \(a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}\).

1) \(a^2 + a > b^2 + b\)
\(a^2 — b^2 + a — b > 0\)
\((a-b)(a+b) + (a-b) > 0\)
\((a-b)(a+b+1) > 0\)
Ответ: верно.

2) \(a^2 — a > b^2 — b\)
\(a^2 — b^2 — a + b > 0\)
\((a-b)(a+b) — (a-b) > 0\)
\((a-b)(a+b-1) > 0\)
Ответ: неверно.

3) \(2 — a^2 < 2 — b^2\)
\(a^2 > b^2\)
\((a-b)(a+b) > 0\)
Ответ: верно.

4) \(a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}\)
\(a + \frac{1}{a} — b — \frac{1}{b} > 0\)
\(\frac{a b + b — a b — a}{a b} > 0\)
\(\frac{b — a}{a b} > 0\)
Ответ: неверно.

1) Рассмотрим неравенство \(a^2 + a > b^2 + b\). Перенесём все в левую часть: \(a^2 + a — b^2 — b > 0\). Группируем по частям: \((a^2 — b^2) + (a — b) > 0\). Вспомним формулу разности квадратов и вынесем общий множитель: \((a-b)(a+b) + (a-b) > 0\). Вынесем \(a-b\) за скобки: \((a-b)(a+b+1) > 0\). Поскольку \(a > b\), то \(a-b > 0\). Также \(a+b+1 > 0\), так как \(a, b > 0\). Значит произведение положительно, значит неравенство верно.

2) Рассмотрим неравенство \(a^2 — a > b^2 — b\). Перенесём все в левую часть: \(a^2 — a — b^2 + b > 0\). Группируем: \((a^2 — b^2) — (a — b) > 0\). Вынесем общий множитель \(a-b\): \((a-b)(a+b) — (a-b) > 0\). Вынесем \(a-b\) за скобки: \((a-b)(a+b-1) > 0\). Поскольку \(a-b > 0\), знак неравенства зависит от \(a+b-1\). Если \(a+b-1 > 0\), неравенство верно, если меньше — нет. Значит неравенство не всегда верно.

3) Рассмотрим неравенство \(2 — a^2 < 2 — b^2\). Перенесём: \(2 — a^2 < 2 — b^2\) эквивалентно \(-a^2 < -b^2\), то есть \(a^2 > b^2\). Разложим разность квадратов: \((a-b)(a+b) > 0\). Поскольку \(a > b > 0\), то \(a-b > 0\) и \(a+b > 0\). Значит произведение положительно, значит неравенство верно.

4) Рассмотрим неравенство \(a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}\). Перенесём все в левую часть: \(a + \frac{1}{a} — b — \frac{1}{b} > 0\). Приведём к общему знаменателю: \(\frac{a b + b — a b — a}{a b} > 0\). Упростим числитель: \(\frac{b — a}{a b} > 0\). Поскольку \(a > b > 0\), то \(b — a < 0\), а \(a b > 0\). Значит дробь отрицательна, и неравенство неверно.