ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 832 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если последовательность (\(y_n\)) — геометрическая прогрессия, то \(y_n y_{17-n} = y_1 y_{17}\).

Пусть \(y_n\) — геометрическая прогрессия, тогда \(y_n = y_1 q^{n-1}\).

\(y_n y_{17-n} = (y_1 q^{n-1})(y_1 q^{16-n}) = y_1^2 q^{n-1+16-n} = y_1^2 q^{15}\)

\(y_1 y_{17} = y_1 (y_1 q^{16}) = y_1^2 q^{16}\)

В условии задачи требуется доказать \(y_n y_{17-n} = y_1 y_{17}\), но с учётом индексов правильно: \(y_n y_{18-n} = y_1 y_{17}\).

Проверим:

\(y_n y_{18-n} = (y_1 q^{n-1})(y_1 q^{17-n}) = y_1^2 q^{n-1+17-n} = y_1^2 q^{16} = y_1 y_{17}\)

Что и требовалось доказать.

В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, которое называется знаменателем прогрессии. Пусть первый член прогрессии равен \(y_1\), а знаменатель прогрессии равен \(q\). Тогда любой член этой прогрессии можно записать по формуле: \(y_n = y_1 q^{n-1}\), где \(n\) — номер члена прогрессии. Например, второй член будет \(y_2 = y_1 q^{2-1} = y_1 q\), третий — \(y_3 = y_1 q^{3-1} = y_1 q^2\), и так далее.

Рассмотрим теперь выражение \(y_n y_{18-n}\). Сначала найдём, как выражается \(y_{18-n}\) через первый член и знаменатель прогрессии. По формуле общего члена: \(y_{18-n} = y_1 q^{(18-n)-1} = y_1 q^{17-n}\). Теперь перемножим \(y_n\) и \(y_{18-n}\): \(y_n y_{18-n} = (y_1 q^{n-1}) (y_1 q^{17-n})\). При перемножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \(q^{n-1} \cdot q^{17-n} = q^{(n-1)+(17-n)} = q^{16}\). Значит, произведение равно \(y_n y_{18-n} = y_1^2 q^{16}\).

Далее вычислим произведение первого и семнадцатого члена прогрессии. По формуле: \(y_{17} = y_1 q^{17-1} = y_1 q^{16}\). Тогда \(y_1 y_{17} = y_1 (y_1 q^{16}) = y_1^2 q^{16}\). Мы видим, что значения \(y_n y_{18-n}\) и \(y_1 y_{17}\) совпадают, то есть \(y_n y_{18-n} = y_1 y_{17}\). Это верно для любого \(n\), входящего в прогрессию, потому что при сложении показателей в произведении всегда получится 16, а множители \(y_1^2\) одинаковы. Таким образом, в любой геометрической прогрессии произведение \(n\)-го и \((18-n)\)-го члена всегда равно произведению первого и семнадцатого члена: \(y_n y_{18-n} = y_1 y_{17}\).