ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 838 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Число 96 является членом геометрической прогрессии \(3, \frac{9}{2}, \frac{27}{4}, \ldots\). Найдите номер этого члена.

Дано: \(3,\, \frac{9}{2},\, \frac{27}{4},\, \ldots\)

\(b_1 = 3\)

\(b_2 = \frac{9}{2}\)

\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{9}{2}}{3} = \frac{3}{2}\)

Пусть \(b_n = 96\), тогда \(b_n = b_1 q^{n-1}\):

\(3 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} = 96\)

\(\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} = \frac{96}{3} = 32\)

\(32 = 2^5\)

Пусть \(\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} = 2^5\)

\(\frac{3^{n-1}}{2^{n-1}} = 2^5\)

\(3^{n-1} = 2^{n-1+5} = 2^{n+4}\)

Рассмотрим степени: \(n-1 = 0\) не подходит, попробуем подобрать \(n-1\) так, чтобы \(3^{n-1}\) стало степенью двойки. Это невозможно, значит решения нет.

Ответ: \(\emptyset\)

Рассмотрим геометрическую прогрессию, члены которой даны: \(3,\ \frac{9}{2},\ \frac{27}{4},\ldots\) Для начала определим основные параметры прогрессии. Первый член прогрессии — это просто первое число, то есть \(b_1 = 3\). Чтобы найти знаменатель прогрессии, воспользуемся формулой \(q = \frac{b_2}{b_1}\). Подставим значения: \(q = \frac{\frac{9}{2}}{3} = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{2}\). Это значит, что чтобы получить каждый следующий член прогрессии, нужно предыдущий умножить на \(\frac{3}{2}\). Проверим это на третьем члене: \(\frac{9}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{4}\), всё верно.

Теперь запишем формулу n-го члена геометрической прогрессии: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\). Подставим найденные значения: \(b_n = 3 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}\). По условию задачи требуется найти такой номер члена прогрессии \(n\), при котором \(b_n = 96\). Подставим это в формулу: \(3 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} = 96\). Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить выражение: \(\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} = \frac{96}{3} = 32\). Далее преобразуем 32 к степени двойки: \(32 = 2^5\). Получаем: \(\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} = 2^5\).

Рассмотрим подробнее выражение \(\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}\). Оно раскрывается как \(\frac{3^{n-1}}{2^{n-1}}\). Подставим это в уравнение: \(\frac{3^{n-1}}{2^{n-1}} = 2^5\). Теперь умножим обе части на \(2^{n-1}\), чтобы избавиться от знаменателя: \(3^{n-1} = 2^{n-1} \cdot 2^5 = 2^{n-1+5} = 2^{n+4}\). Теперь у нас получилось равенство: \(3^{n-1} = 2^{n+4}\). Левая часть — это степень числа 3, правая — степень числа 2. Но любое число \(3^{n-1}\) при натуральных \(n\) всегда будет делиться только на 3, а \(2^{n+4}\) — только на 2. Пересечения возможны только при тривиальных значениях, но \(n-1 = 0\) даёт \(b_1\), а это 3, а не 96. Значит, ни при каком натуральном \(n\) это равенство не выполнится.

Проверим на всякий случай несколько первых \(n\): при \(n=1\), \(b_1 = 3\); при \(n=2\), \(b_2 = \frac{9}{2}\); при \(n=3\), \(b_3 = \frac{27}{4}\); при \(n=4\), \(b_4 = \frac{81}{8}\). Видно, что значения получаются дробные и даже при больших \(n\) не получится получить 96, так как множители всегда будут степенью тройки делённой на степень двойки. Следовательно, ни при каком \(n\) не получится получить \(b_n = 96\).

Ответ: \(\emptyset\)