ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 84 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что: 1) \(\sqrt{27} + \sqrt{65} > 13\); 2) \(\sqrt{14} + \sqrt{15} < 8\); 3) \(\sqrt{65} — \sqrt{35} > 2\); 4) \(\sqrt{99} — \sqrt{82} < 1\).

1) \( \sqrt{27} + \sqrt{65} > 13; \quad \sqrt{27} > \sqrt{25} = 5; \quad \sqrt{65} > \sqrt{64} = 8;}\) \(\sqrt{\quad \sqrt{27} + \sqrt{65} > 5 + 8 = 13; \) Неравенство доказано.

2) \( \sqrt{14} + \sqrt{15} < 8; \quad \sqrt{14} < \sqrt{16} = 4; \quad \sqrt{15} < \sqrt{16} =4; \quad \sqrt{14} + \sqrt{15} < 4 + 4 = 8; \) Неравенство доказано.

3) \( \sqrt{65} — \sqrt{35} > 2; \quad \sqrt{65} > \sqrt{64} = 8; \quad \sqrt{35} < \sqrt{36} = 6; \quad \sqrt{65} — \sqrt{35} > 8 — 6 = 2; \) Неравенство доказано.

4) \( \sqrt{99} — \sqrt{82} < 1; \quad \sqrt{99} < \sqrt{100} = 10; \quad \sqrt{82} > \sqrt{81} = 9; \quad \sqrt{99} — \sqrt{82} < 10 — 9 = 1; \) Неравенство доказано.

Рассмотрим первое неравенство \( \sqrt{27} + \sqrt{65} > 13 \). Сначала найдем ближайшие к 27 и 65 полные квадраты. Для 27 это 25, а для 65 — 64. Известно, что если \( a > b \), то \( \sqrt{a} > \sqrt{b} \). Значит, \( \sqrt{27} > \sqrt{25} = 5 \) и \( \sqrt{65} > \sqrt{64} = 8 \). Складывая эти неравенства, получаем \( \sqrt{27} + \sqrt{65} > 5 + 8 = 13 \). Следовательно, первое неравенство верно.

Рассмотрим второе неравенство \( \sqrt{14} + \sqrt{15} < 8 \). Определим ближайшие полные квадраты к 14 и 15 — это 16. Так как \( a < b \) в случае \( 14 < 16 \) и \( 15 < 16 \), то \( \sqrt{14} < \sqrt{16} = 4 \) и \( \sqrt{15} < \sqrt{16} = 4 \). Складывая, получаем \( \sqrt{14} + \sqrt{15} < 4 + 4 = 8 \). Значит, второе неравенство доказано.

Для третьего неравенства \( \sqrt{65} — \sqrt{35} > 2 \) найдем ближайшие полные квадраты к 65 и 35. Для 65 — это 64, для 35 — 36. Поскольку \( 65 > 64 \), то \( \sqrt{65} > \sqrt{64} = 8 \). Так как \( 35 < 36 \), то \( \sqrt{35} < \sqrt{36} = 6 \). Вычитая, получаем \( \sqrt{65} — \sqrt{35} > 8 — 6 = 2 \). Следовательно, третье неравенство верно.

Для четвертого неравенства \( \sqrt{99} — \sqrt{82} < 1 \) определим ближайшие полные квадраты. К 99 — 100, к 82 — 81. Так как \( 99 < 100 \), то \( \sqrt{99} < \sqrt{100} = 10 \). Поскольку \( 82 > 81 \), то \( \sqrt{82} > \sqrt{81} = 9 \). Вычитая, получаем \( \sqrt{99} — \sqrt{82} < 10 — 9 = 1 \). Значит, четвертое неравенство доказано.