ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 844 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком значении переменной \(x\) числа \(x, 3x\) и 18 будут последовательными членами геометрической прогрессии?

Дано: \(b_1 = x\), \(b_2 = 3x\), \(b_3 = 18\)

По свойству прогрессии: \(b_2 = \pm \sqrt{b_1 b_3}\)

\(3x = \pm \sqrt{x \cdot 18}\)

\(3x = \pm \sqrt{18x}\)

\(3x = \pm \sqrt{18} \sqrt{x}\)

\(3x = \pm 3\sqrt{2} \sqrt{x}\)

\(x = \sqrt{2} \sqrt{x}\)

\(x = \sqrt{2x}\)

\(x^2 = 2x\)

\(x^2 — 2x = 0\)

\(x(x-2) = 0\)

\(x = 0\) или \(x = 2\)

\(x = 2\)

Рассмотрим три числа: \( x \), \( 3x \) и \( 18 \). Нам нужно найти такое значение переменной \( x \), при котором эти числа будут последовательными членами геометрической прогрессии. Напомню, что геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно. Обозначим эти числа как \( b_1 = x \), \( b_2 = 3x \), \( b_3 = 18 \).

Свойство геометрической прогрессии гласит, что второй член равен геометрическому среднему первого и третьего членов, то есть \( b_2 = \pm \sqrt{b_1 \cdot b_3} \). Подставим наши значения:
\( 3x = \pm \sqrt{x \cdot 18} \).

Далее упростим выражение под корнем:
\( 3x = \pm \sqrt{18x} \).
Преобразуем корень:
\( \sqrt{18x} = \sqrt{18} \cdot \sqrt{x} = 3 \sqrt{2} \cdot \sqrt{x} \).
Таким образом, уравнение принимает вид:
\( 3x = \pm 3 \sqrt{2} \sqrt{x} \).

Разделим обе части уравнения на 3:
\( x = \pm \sqrt{2} \sqrt{x} \).

Теперь выразим \( \sqrt{x} \) как \( t \), тогда \( x = t^2 \), и уравнение перепишется так:
\( t^2 = \pm \sqrt{2} t \).

Рассмотрим сначала положительный случай:
\( t^2 = \sqrt{2} t \).
Перенесём все в одну сторону:
\( t^2 — \sqrt{2} t = 0 \).
Вынесем \( t \) за скобки:
\( t (t — \sqrt{2}) = 0 \).

Отсюда \( t = 0 \) или \( t = \sqrt{2} \). Поскольку \( t = \sqrt{x} \), то \( \sqrt{x} = 0 \) или \( \sqrt{x} = \sqrt{2} \). Первая ситуация даёт \( x = 0 \), вторая — \( x = 2 \).

Проверим отрицательный случай:
\( t^2 = — \sqrt{2} t \), что даёт
\( t^2 + \sqrt{2} t = 0 \),
или
\( t (t + \sqrt{2}) = 0 \).
Отсюда \( t = 0 \) или \( t = -\sqrt{2} \). Поскольку \( t = \sqrt{x} \geq 0 \) (корень из \( x \) не может быть отрицательным в действительных числах), отрицательное значение отбрасываем. Значит, этот случай не даёт новых решений.

Таким образом, допустимыми значениями \( x \) являются \( 0 \) и \( 2 \). Однако, если \( x = 0 \), то первый член прогрессии \( b_1 = 0 \), а прогрессия с нулём в знаменателе или в первом члене обычно не рассматривается, так как отношение прогрессии становится неопределённым. Следовательно, единственно приемлемое значение — \( x = 2 \).

Итог: единственно приемлемое значение — \( x = 2 \).