ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 849 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В правильный треугольник со стороной \(a\) последовательно вписаны треугольники так, что вершины каждого следующего треугольника являются серединами сторон предыдущего (рис. 106). Докажите, что периметры этих треугольников образуют геометрическую прогрессию, и запишите формулу n-го члена этой прогрессии.

Дано: \(b_1 = a\), \(q = \frac{1}{2}\)
Периметр первого треугольника: \(P_1 = 3a\)
Периметр \(n\)-го треугольника: \(P_n = 3a \cdot q^{n-1}\)
\(P_n = 3a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{3a}{2^{n-1}}\)

1. Пусть сторона первого треугольника равна \(a\). Периметр первого треугольника: \(P_1 = 3a\).

2. Вершины второго треугольника — середины сторон первого, значит, его сторона равна половине стороны первого, то есть \(\frac{a}{2}\). Периметр второго треугольника: \(P_2 = 3 \cdot \frac{a}{2} = \frac{3a}{2}\).

3. Аналогично, сторона третьего треугольника: \(\frac{a}{4}\), периметр третьего: \(P_3 = 3 \cdot \frac{a}{4} = \frac{3a}{4}\).

4. Каждый следующий периметр в два раза меньше предыдущего: \(P_{n+1} = \frac{P_n}{2}\).

5. Значит, периметры образуют геометрическую прогрессию с первым членом \(3a\) и знаменателем \(\frac{1}{2}\).

6. Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии: \(P_n = P_1 \cdot q^{n-1}\), где \(q = \frac{1}{2}\).

7. Подставляем значения: \(P_n = 3a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\).

8. Получаем: \(P_n = \frac{3a}{2^{n-1}}\).