ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 85 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что: 1) \(\sqrt{55} + \sqrt{35} > \sqrt{120}\); 2) \(\sqrt{119} — \sqrt{67} < 3\).

1) \( \sqrt{55} + \sqrt{35} > \sqrt{120} \)

Возводим в квадрат:
\( (\sqrt{55} + \sqrt{35})^2 > (\sqrt{120})^2 \)
\( 55 + 2\sqrt{55 \cdot 35} + 35 > 120 \)
\( 90 + 2\sqrt{1925} > 120 \)
\( 2\sqrt{1925} > 30 \)
\( \sqrt{1925} > 15 \)
\( 1925 > 225 \) — верно. Неравенство доказано.

2) \( \sqrt{119} — \sqrt{67} < 3 \)

Возводим в квадрат:
\( (\sqrt{119} — \sqrt{67})^2 < 3^2 \)
\( 119 — 2\sqrt{119 \cdot 67} + 67 < 9 \)
\( 186 — 2\sqrt{7973} < 9 \)
\( 177 < 2\sqrt{7973} \)
\( \frac{177}{2} < \sqrt{7973} \)
\( \left(\frac{177}{2}\right)^2 = \frac{31329}{4} = 7832{,}25 < 7973 \) — верно. Неравенство доказано.

Рассмотрим первое неравенство \( \sqrt{55} + \sqrt{35} > \sqrt{120} \). Так как все выражения положительные, возведём обе части в квадрат, не меняя знак неравенства:
\( (\sqrt{55} + \sqrt{35})^2 > (\sqrt{120})^2 \).

Раскроем левую часть по формуле квадрата суммы:
\( 55 + 2\sqrt{55 \cdot 35} + 35 > 120 \).

Сложим числа:
\( 90 + 2\sqrt{1925} > 120 \).

Вычтем 90 из обеих частей:
\( 2\sqrt{1925} > 30 \).

Разделим обе части на 2:
\( \sqrt{1925} > 15 \).

Теперь проверим, действительно ли \( 1925 > 15^{2} \):
\( 1925 > 225 \), что верно.

Значит, первое неравенство доказано.

—

Рассмотрим второе неравенство \( \sqrt{119} — \sqrt{67} < 3 \). Перенесём 3 в левую часть:
\( \sqrt{119} — \sqrt{67} — 3 < 0 \), или эквивалентно \( \sqrt{119} — \sqrt{67} < 3 \).

Возведём обе части в квадрат, учитывая, что \( \sqrt{119} > \sqrt{67} \), знак неравенства сохраняется:
\( (\sqrt{119} — \sqrt{67})^{2} < 3^{2} \).

Раскроем левую часть по формуле квадрата разности:
\( 119 — 2\sqrt{119 \cdot 67} + 67 < 9 \).

Сложим числа:
\( 186 — 2\sqrt{7973} < 9 \).

Вычтем 9 из обеих частей:
\( 177 — 2\sqrt{7973} < 0 \), или \( 177 < 2\sqrt{7973} \).

Разделим обе части на 2:
\( \frac{177}{2} < \sqrt{7973} \).

Теперь проверим, действительно ли \( \left(\frac{177}{2}\right)^{2} < 7973 \):
Вычислим квадрат:
\( \left(\frac{177}{2}\right)^{2} = \frac{177^{2}}{4} = \frac{31329}{4} = 7832{,}25 \).

Так как \( 7832{,}25 < 7973 \), неравенство верно.

Значит, второе неравенство доказано.