ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 853 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Между числами 80 и 5 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.

Дано: \(b_1 = 80\), \(b_5 = 5\)

\(b_5 = b_1 q^4\)

\(5 = 80 q^4\)

\(q^4 = \frac{1}{16}\)

\(q = \pm \frac{1}{2}\)

\(b_2 = b_1 q = 80 \cdot \frac{1}{2} = 40\)
\(b_3 = b_2 q = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20\)
\(b_4 = b_3 q = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10\)

или

\(b_2 = b_1 q = 80 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -40\)
\(b_3 = b_2 q = -40 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 20\)
\(b_4 = b_3 q = 20 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -10\)

Ответ:
\(40;\ 20;\ 10\)
\(-40;\ 20;\ -10\)

Пусть требуется между числами 80 и 5 вставить три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия. Обозначим эти числа как \(x\), \(y\), \(z\). Тогда последовательность будет иметь вид: \(80;\ x;\ y;\ z;\ 5\). В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, которое называется знаменателем прогрессии и обозначается \(q\). Это означает, что \(x = 80 \cdot q\), \(y = x \cdot q = 80 \cdot q^2\), \(z = y \cdot q = 80 \cdot q^3\), а последний член \(5 = 80 \cdot q^4\).

Запишем уравнение для нахождения знаменателя \(q\), используя первый и последний члены прогрессии. По формуле n-го члена геометрической прогрессии \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\), где \(b_1 = 80\), \(b_5 = 5\), \(n = 5\). Подставляем значения: \(5 = 80 \cdot q^4\). Далее выразим \(q^4\): \(q^4 = \frac{5}{80}\). Преобразуем дробь: \(q^4 = \frac{1}{16}\). Теперь найдём возможные значения \(q\). Четвёртая степень числа равна \(\frac{1}{16}\) только в двух случаях: если \(q = \frac{1}{2}\) или \(q = -\frac{1}{2}\), потому что \(\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}\) и \(\left(-\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}\).

Теперь найдём все члены прогрессии для каждого значения \(q\). Если \(q = \frac{1}{2}\), то второй член: \(x = 80 \cdot \frac{1}{2} = 40\). Третий член: \(y = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20\). Четвёртый член: \(z = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10\). Проверим последний член: \(10 \cdot \frac{1}{2} = 5\), всё верно. Если \(q = -\frac{1}{2}\), то второй член: \(x = 80 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -40\). Третий член: \(y = -40 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 20\), так как минус на минус даёт плюс. Четвёртый член: \(z = 20 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -10\). Проверяем последний член: \(-10 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 5\), что также верно.

Таким образом, между числами 80 и 5 можно вставить три числа, чтобы получилась геометрическая прогрессия. Если знаменатель прогрессии равен \(\frac{1}{2}\), то последовательность будет \(80;\ 40;\ 20;\ 10;\ 5\). Если знаменатель равен \(-\frac{1}{2}\), то последовательность будет \(80;\ -40;\ 20;\ -10;\ 5\). Ответ: \(40;\ 20;\ 10\) или \(-40;\ 20;\ -10\).