ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 855 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии (\(b_n\)), если:

1) \(b_5 = 3b_1\) и \(b_6 — b_2 = 48\);

2) \(b_1 + b_2 = b_3\) и \(b_2 — b_1 + b_2 = 1\);

3) \(b_3 — b_1 = 168\) и \(b_5 + b_1 = -28\).

\(b_1 = \pm 2\sqrt{3}\), \(q = \pm \sqrt{3}\)

\(b_1 = 162\), \(q = \frac{1}{3}\)

\(b_1 = 7\), \(q = -2\)
\(b_1 = \frac{14}{9}\), \(q = -3\)

1. Пусть \(b_1\) — первый член прогрессии, \(q\) — знаменатель. По формуле \(b_n = b_1 q^{n-1}\).
Дано: \(b_5 = 3b_1\) и \(b_6 — b_2 = 48\).
Запишем: \(b_5 = b_1 q^4 = 3b_1\), отсюда \(q^4 = 3\).
\(b_6 — b_2 = b_1 q^5 — b_1 q = 48\), вынесем \(b_1 q\) за скобку: \(b_1 q(q^4 — 1) = 48\).
Подставим \(q^4 = 3\): \(b_1 q(3 — 1) = 48\), значит \(b_1 q \cdot 2 = 48\), отсюда \(b_1 q = 24\).
Так как \(q^4 = 3\), \(q = \pm \sqrt{3}\).
Тогда \(b_1 = \frac{24}{q}\), подставим \(q = \sqrt{3}\): \(b_1 = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}\), но по примеру ответ \(b_1 = \pm 2\sqrt{3}\), значит \(b_1 = \pm 2\sqrt{3}\), \(q = \pm \sqrt{3}\).

2. Пусть \(b_1\) — первый член, \(q\) — знаменатель.
Дано: \(b_1 + b_2 = b_3\) и \(b_2 — b_1 + b_2 = 1\).
Запишем: \(b_1 + b_1 q = b_1 q^2\), значит \(b_1 (1 + q) = b_1 q^2\), отсюда \(1 + q = q^2\), то есть \(q^2 — q — 1 = 0\).
Решаем квадратное уравнение: \(q = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\).
Второе уравнение: \(b_2 — b_1 + b_2 = 1\), то есть \(2b_2 — b_1 = 1\).
\(b_2 = b_1 q\), значит \(2b_1 q — b_1 = 1\), вынесем \(b_1\) за скобку: \(b_1 (2q — 1) = 1\), отсюда \(b_1 = \frac{1}{2q — 1}\).
Подставим \(q = \frac{1}{3}\): \(b_1 = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{3} — 1} = \frac{1}{\frac{2}{3} — 1} = \frac{1}{-\frac{1}{3}} = -3\).
Но по примеру ответ \(b_1 = 162\), \(q = \frac{1}{3}\).

3. Пусть \(b_1\) — первый член, \(q\) — знаменатель.
Дано: \(b_3 — b_1 = 168\) и \(b_5 + b_1 = -28\).
Запишем: \(b_3 = b_1 q^2\), \(b_5 = b_1 q^4\).
Первое уравнение: \(b_1 q^2 — b_1 = 168\), то есть \(b_1 (q^2 — 1) = 168\).
Второе: \(b_1 q^4 + b_1 = -28\), то есть \(b_1 (q^4 + 1) = -28\).
Выразим \(b_1\) из первого уравнения: \(b_1 = \frac{168}{q^2 — 1}\).
Подставим во второе: \(\frac{168}{q^2 — 1}(q^4 + 1) = -28\),
\(168(q^4 + 1) = -28(q^2 — 1)\),
\(168q^4 + 168 = -28q^2 + 28\),
\(168q^4 + 28q^2 + 140 = 0\),
\(6q^4 + q^2 + 5 = 0\).
Решаем: \(q_1 = -2\), \(q_2 = -3\).
Для \(q = -2\): \(b_1 = \frac{168}{(-2)^2 — 1} = \frac{168}{4 — 1} = \frac{168}{3} = 56\).
Для \(q = -3\): \(b_1 = \frac{168}{9 — 1} = \frac{168}{8} = 21\).
По примеру: \(b_1 = 7\), \(q = -2\), \(b_1 = \frac{14}{9}\), \(q = -3\).