ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 859 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если члены последовательности (\(b_n\)) отличны от нуля и при любом натуральном \(n > 1\) выполняется равенство \(b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}\), то последовательность (\(b_n\)) является геометрической прогрессией.

Задано: \(b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}\)

Разделим обе части на \(b_{n-1} \cdot b_n\):

\(\frac{b_n^2}{b_{n-1} \cdot b_n} = \frac{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}{b_{n-1} \cdot b_n}\)

\(\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{b_{n+1}}{b_n}\)

Пусть \(\frac{b_n}{b_{n-1}} = q\), тогда \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = q\)

Следовательно, \(\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{b_{n+1}}{b_n} = q\)

Что и требовалось доказать.

1. Пусть дана последовательность \(b_n\), для которой выполняется равенство: \(b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}\).

2. Перепишем это равенство так, чтобы выразить отношение между соседними членами: разделим обе части на \(b_{n-1} \cdot b_n\), получим \(\frac{b_n^2}{b_{n-1} \cdot b_n} = \frac{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}{b_{n-1} \cdot b_n}\).

3. Упростим левую часть: \(\frac{b_n^2}{b_{n-1} \cdot b_n} = \frac{b_n}{b_{n-1}}\).

4. Упростим правую часть: \(\frac{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}{b_{n-1} \cdot b_n} = \frac{b_{n+1}}{b_n}\).

5. Получаем равенство: \(\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{b_{n+1}}{b_n}\).

6. Обозначим \(\frac{b_n}{b_{n-1}} = q\), тогда \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = q\).

7. Значит, отношение соседних членов последовательности всегда одинаково: \(\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{b_{n+1}}{b_n} = q\).

8. Это означает, что каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\): \(b_{n+1} = q b_n\).

9. Следовательно, последовательность \(b_n\) является геометрической прогрессией.

10. Что и требовалось доказать.