ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 86 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сравните: 1) \(\sqrt{10} + \sqrt{6}\) и \(\sqrt{11} + \sqrt{5}\); 2) 2 + \(\sqrt{11}\) и \(\sqrt{5} + \sqrt{10}\); 3) \(\sqrt{15} — \sqrt{5}\) и \(\sqrt{2}\); 4) \(\sqrt{21} + \sqrt{20}\) и 9.

1) \((\sqrt{10} + \sqrt{6})^2 = 10 + 6 + 2\sqrt{60} = 16 + 2\sqrt{60}\), \((\sqrt{11} + \sqrt{5})^2 = 11 + 5 + 2\sqrt{55} = 16 + 2\sqrt{55}\), так как \(\sqrt{60} > \sqrt{55}\), то \(\sqrt{10} + \sqrt{6} > \sqrt{11} + \sqrt{5}\).

2) \((2 + \sqrt{11})^2 = 4 + 11 + 4\sqrt{11} = 15 + 4\sqrt{11}\), \((\sqrt{5} + \sqrt{10})^2 = 5 + 10 + 2\sqrt{50} = 15 + 2\sqrt{50}\), так как \(4\sqrt{11} < 2\sqrt{50}\), то \(2 + \sqrt{11} < \sqrt{5} + \sqrt{10}\).

3) Предположим, что \(\sqrt{15} — \sqrt{5} > \sqrt{2}\), тогда \((\sqrt{15} — \sqrt{5})^2 > (\sqrt{2})^2\), то есть \(15 — 2\sqrt{75} + 5 > 2\), значит \(20 — 2\sqrt{75} > 2\), откуда \(2\sqrt{75} < 18\), значит \(\sqrt{75} < 9\), что верно, значит \(\sqrt{15} — \sqrt{5} > \sqrt{2}\).

4) Предположим, что \(\sqrt{21} + \sqrt{20} > 9\), тогда \((\sqrt{21} + \sqrt{20})^2 > 9^2\), то есть \(21 + 20 + 2\sqrt{420} > 81\), значит \(41 + 2\sqrt{420} > 81\), откуда \(2\sqrt{420} > 40\), значит \(\sqrt{420} > 20\), что верно, значит \(\sqrt{21} + \sqrt{20} > 9\).

1) Рассмотрим выражения \(\sqrt{10} + \sqrt{6}\) и \(\sqrt{11} + \sqrt{5}\). Чтобы сравнить их, возьмём квадрат каждой суммы.

\((\sqrt{10} + \sqrt{6})^2 = 10 + 6 + 2\sqrt{10 \cdot 6} = 16 + 2\sqrt{60}\).

\((\sqrt{11} + \sqrt{5})^2 = 11 + 5 + 2\sqrt{11 \cdot 5} = 16 + 2\sqrt{55}\).

Поскольку \(\sqrt{60} > \sqrt{55}\), то \(16 + 2\sqrt{60} > 16 + 2\sqrt{55}\), значит \(\sqrt{10} + \sqrt{6} > \sqrt{11} + \sqrt{5}\).

2) Рассмотрим \(2 + \sqrt{11}\) и \(\sqrt{5} + \sqrt{10}\). Возьмём квадраты для сравнения.

\((2 + \sqrt{11})^2 = 4 + 11 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{11} = 15 + 4\sqrt{11}\).

\((\sqrt{5} + \sqrt{10})^2 = 5 + 10 + 2\sqrt{5 \cdot 10} = 15 + 2\sqrt{50}\).

Вычислим приближённо: \(4\sqrt{11} \approx 4 \times 3{,}3166 = 13{,}2664\), \(2\sqrt{50} = 2 \times 7{,}071 = 14{,}142\).

Так как \(13{,}2664 < 14{,}142\), то \(15 + 4\sqrt{11} < 15 + 2\sqrt{50}\), значит \(2 + \sqrt{11} < \sqrt{5} + \sqrt{10}\).

3) Рассмотрим \(\sqrt{15} — \sqrt{5}\) и \(\sqrt{2}\). Предположим, что \(\sqrt{15} — \sqrt{5} > \sqrt{2}\).

Возведём обе части в квадрат:

\((\sqrt{15} — \sqrt{5})^2 > (\sqrt{2})^2\).

Раскроем левую часть:

\(15 — 2\sqrt{15 \cdot 5} + 5 > 2\),

\(20 — 2\sqrt{75} > 2\).

Перенесём 2 вправо:

\(-2\sqrt{75} > -18\),

умножим на -1 (при этом знак неравенства меняется):

\(2\sqrt{75} < 18\),

разделим на 2:

\(\sqrt{75} < 9\).

Поскольку \(\sqrt{75} \approx 8{,}66 < 9\), предположение верно, значит \(\sqrt{15} — \sqrt{5} > \sqrt{2}\).

4) Рассмотрим \(\sqrt{21} + \sqrt{20}\) и число 9. Предположим, что \(\sqrt{21} + \sqrt{20} > 9\).

Возведём обе части в квадрат:

\((\sqrt{21} + \sqrt{20})^2 > 9^2\),

\(21 + 20 + 2\sqrt{21 \cdot 20} > 81\),

\(41 + 2\sqrt{420} > 81\).

Вычислим:

\(2\sqrt{420} > 40\),

разделим на 2:

\(\sqrt{420} > 20\).

Поскольку \(\sqrt{420} \approx 20{,}49 > 20\), предположение верно, значит \(\sqrt{21} + \sqrt{20} > 9\).