ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 860 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите геометрическую прогрессию, содержащую шесть членов, если сумма трёх первых её членов равна 168, а сумма трёх последних равна 21.

\(b_1 + b_2 + b_3 = 168\)

\(b_4 + b_5 + b_6 = 21\)

\(b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = 168\)

\(b_1 (1 + q + q^2) = 168\)

\(b_4 + b_5 + b_6 = b_1 q^3 + b_1 q^4 + b_1 q^5 = b_1 q^3 (1 + q + q^2) = 21\)

\(\frac{168}{1 + q + q^2} \cdot q^3 (1 + q + q^2) = 21\)

\(168 q^3 = 21\)

\(q^3 = \frac{21}{168} = \frac{1}{8}\)

\(q = \frac{1}{2}\)

\(b_1 = \frac{168}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}} = \frac{168}{\frac{7}{4}} = 168 \cdot \frac{4}{7} = 96\)

\(b_2 = b_1 q = 96 \cdot \frac{1}{2} = 48\)

\(b_3 = b_2 q = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24\)

\(b_4 = b_3 q = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12\)

\(b_5 = b_4 q = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\)

\(b_6 = b_5 q = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\)

96; 48; 24; 12; 6; 3

Рассмотрим систему уравнений, данную в задаче, и подробно разберем каждый шаг решения.

Имеются два уравнения на суммы членов последовательностей:

\( b_1 + b_2 + b_3 = 168 \)

и

\( b_4 + b_5 + b_6 = 21 \).

Предполагается, что члены последовательности связаны геометрической прогрессией с первым членом \( b_1 \) и знаменателем \( q \), то есть

\( b_n = b_1 q^{n-1} \).

Тогда первые три члена можно записать как \( b_1, b_1 q, b_1 q^2 \), и сумма первых трёх членов будет

\( b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = b_1 (1 + q + q^2) = 168 \).

Аналогично, члены с 4-го по 6-й — это \( b_1 q^3, b_1 q^4, b_1 q^5 \), сумма которых равна

\( b_1 q^3 + b_1 q^4 + b_1 q^5 = b_1 q^3 (1 + q + q^2) = 21 \).

Из этих двух уравнений видно, что \( b_1 (1 + q + q^2) = 168 \) и \( b_1 q^3 (1 + q + q^2) = 21 \).

Чтобы найти \( q \), разделим второе уравнение на первое:

\[
\frac{b_1 q^3 (1 + q + q^2)}{b_1 (1 + q + q^2)} = \frac{21}{168}, \quad \text{следовательно} \quad q^3 = \frac{21}{168} = \frac{1}{8}.
\]

Из этого следует, что

\[
q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}.
\]

Теперь, зная \( q = \frac{1}{2} \), подставим это значение в первое уравнение для определения \( b_1 \):

\[
b_1 (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 168.
\]

Сложим скобки:

\[
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4}.
\]

Тогда

\[
b_1 \cdot \frac{7}{4} = 168, \quad \text{откуда} \quad b_1 = \frac{168 \cdot 4}{7} = 168 \cdot \frac{4}{7} = 96.
\]

Теперь вычислим остальные члены последовательности:

\[
b_2 = b_1 q = 96 \cdot \frac{1}{2} = 48,
\]

\[
b_3 = b_2 q = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24,
\]

\[
b_4 = b_3 q = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12,
\]

\[
b_5 = b_4 q = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6,
\]

\[
b_6 = b_5 q = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3.
\]

Таким образом, все члены последовательности равны: \( 96; 48; 24; 12; 6; 3 \).

Этот метод решения показывает, как из суммы первых трёх и следующих трёх членов геометрической прогрессии можно найти знаменатель прогрессии и первый член, а затем вычислить все остальные члены. Ключевым шагом было использование свойства геометрической прогрессии и деление уравнений для нахождения \( q \).